Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35662 / 31533
↖ ↑ ↗
← N  6.768262°
E 15.897217°		 ← 606.53 m → N  6.768262°
E 15.902710°		 →
↑
606.58 m
↓
↑
606.58 m
↓
N  6.762806°
E 15.897217°		 ← 606.54 m →
367 914 m²		 N  6.762806°
E 15.902710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544166564941406 y=0.481163024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544166564941406 × 216)
    floor (0.544166564941406 × 65536)
    floor (35662.5)     		tx = 35662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481163024902344 × 216)
    floor (0.481163024902344 × 65536)
    floor (31533.5)     		ty = 31533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35662 / 31533 ti = "16/35662/31533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35662/31533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35662 ÷ 216
    35662 ÷ 65536     		x = 0.544158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31533 ÷ 216
    31533 ÷ 65536     		y = 0.481155395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544158935546875 × 2 - 1) × π
    0.08831787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27745878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481155395507812 × 2 - 1) × π
    0.037689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.118404142061539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27745878} λ = 0.27745878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118404142061539))-π/2
    2×atan(1.12569896174814)-π/2
    2×0.844462386321077-π/2
    1.68892477264215-1.57079632675     		φ = 0.11812845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27745878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.897217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11812845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.768262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35662 KachelY 31533 0.27745878 0.11812845 15.897217 6.768262
    Oben rechts KachelX + 1 35663 KachelY 31533 0.27755465 0.11812845 15.902710 6.768262
    Unten links KachelX 35662 KachelY + 1 31534 0.27745878 0.11803324 15.897217 6.762806
    Unten rechts KachelX + 1 35663 KachelY + 1 31534 0.27755465 0.11803324 15.902710 6.762806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11812845-0.11803324) × R
    9.52099999999984e-05 × 6371000     		dl = 606.58290999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11812845-0.11803324) × R
    9.52099999999984e-05 × 6371000     		dr = 606.58290999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27745878-0.27755465) × cos(0.11812845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993030944350022 × 6371000     		do = 606.531156040531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27745878-0.27755465) × cos(0.11803324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993042160719674 × 6371000     		du = 606.538006861938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11812845)-sin(0.11803324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993030944350022-0.993042160719674)×R²
    abs(0.27755465-0.27745878)×1.12163696514012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.12163696514012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.12163696514012e-05×40589641000000     		ar = 367913.51171021m²