Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35660 / 104780
↖ ↑ ↗
← S 72.669409°
W 82.056885°		 ← 90.96 m → S 72.669409°
W 82.054138°		 →
↑
90.98 m
↓
↑
90.98 m
↓
S 72.670227°
W 82.056885°		 ← 90.96 m →
8 275 m²		 S 72.670227°
W 82.054138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272068023681641 y=0.799411773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272068023681641 × 217)
    floor (0.272068023681641 × 131072)
    floor (35660.5)     		tx = 35660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799411773681641 × 217)
    floor (0.799411773681641 × 131072)
    floor (104780.5)     		ty = 104780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35660 / 104780 ti = "17/35660/104780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35660/104780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35660 ÷ 217
    35660 ÷ 131072     		x = 0.272064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104780 ÷ 217
    104780 ÷ 131072     		y = 0.799407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.45587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43216281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.59881591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88123568868948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43216281} λ = -1.43216281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88123568868948))-π/2
    2×atan(0.152401668338044)-π/2
    2×0.151237935933365-π/2
    0.30247587186673-1.57079632675     		φ = -1.26832045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43216281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.056885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26832045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.669409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35660 KachelY 104780 -1.43216281 -1.26832045 -82.056885 -72.669409
    Oben rechts KachelX + 1 35661 KachelY 104780 -1.43211488 -1.26832045 -82.054138 -72.669409
    Unten links KachelX 35660 KachelY + 1 104781 -1.43216281 -1.26833473 -82.056885 -72.670227
    Unten rechts KachelX + 1 35661 KachelY + 1 104781 -1.43211488 -1.26833473 -82.054138 -72.670227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26832045--1.26833473) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dl = 90.9778800002112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26832045--1.26833473) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dr = 90.9778800002112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43216281--1.43211488) × cos(-1.26832045) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.297884593925622 × 6371000     		do = 90.9626443064878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43216281--1.43211488) × cos(-1.26833473) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.297870962180258 × 6371000     		du = 90.9584816890513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26832045)-sin(-1.26833473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297884593925622-0.297870962180258)×R²
    abs(-1.43211488--1.43216281)×1.3631745363174e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.3631745363174e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.3631745363174e-05×40589641000000     		ar = 8275.39918538372m²