Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3566 / 1809
↖ ↑ ↗
← N 70.363091°
W 23.291016°		 ← 1 642.15 m → N 70.363091°
W 23.247070°		 →
↑
1 642.76 m
↓
↑
1 642.76 m
↓
N 70.348317°
W 23.291016°		 ← 1 643.33 m →
2 698 632 m²		 N 70.348317°
W 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43536376953125 y=0.22088623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43536376953125 × 213)
    floor (0.43536376953125 × 8192)
    floor (3566.5)     		tx = 3566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22088623046875 × 213)
    floor (0.22088623046875 × 8192)
    floor (1809.5)     		ty = 1809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3566 / 1809 ti = "13/3566/1809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3566/1809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3566 ÷ 213
    3566 ÷ 8192     		x = 0.435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1809 ÷ 213
    1809 ÷ 8192     		y = 0.2208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.12939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40650491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2208251953125 × 2 - 1) × π
    0.558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75410703089709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40650491} λ = -0.40650491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75410703089709))-π/2
    2×atan(5.77828560697148)-π/2
    2×1.39943196904263-π/2
    2.79886393808526-1.57079632675     		φ = 1.22806761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40650491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22806761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.363091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3566 KachelY 1809 -0.40650491 1.22806761 -23.291016 70.363091
    Oben rechts KachelX + 1 3567 KachelY 1809 -0.40573792 1.22806761 -23.247070 70.363091
    Unten links KachelX 3566 KachelY + 1 1810 -0.40650491 1.22780976 -23.291016 70.348317
    Unten rechts KachelX + 1 3567 KachelY + 1 1810 -0.40573792 1.22780976 -23.247070 70.348317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22806761-1.22780976) × R
    0.000257850000000115 × 6371000     		dl = 1642.76235000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22806761-1.22780976) × R
    0.000257850000000115 × 6371000     		dr = 1642.76235000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40650491--0.40573792) × cos(1.22806761) × R
    0.000766990000000023 × 0.336058357883446 × 6371000     		do = 1642.14691084593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40650491--0.40573792) × cos(1.22780976) × R
    0.000766990000000023 × 0.336301200453459 × 6371000     		du = 1643.33355943482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22806761)-sin(1.22780976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336058357883446-0.336301200453459)×R²
    abs(-0.40573792--0.40650491)×0.000242842570012836×R²
    0.000766990000000023×0.000242842570012836×6371000²
    0.000766990000000023×0.000242842570012836×40589641000000     		ar = 2698631.82407121m²