Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35659 / 31507
↖ ↑ ↗
← N  6.910068°
E 15.880737°		 ← 606.41 m → N  6.910068°
E 15.886231°		 →
↑
606.39 m
↓
↑
606.39 m
↓
N  6.904614°
E 15.880737°		 ← 606.42 m →
367 727 m²		 N  6.904614°
E 15.886231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544120788574219 y=0.480766296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544120788574219 × 216)
    floor (0.544120788574219 × 65536)
    floor (35659.5)     		tx = 35659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480766296386719 × 216)
    floor (0.480766296386719 × 65536)
    floor (31507.5)     		ty = 31507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35659 / 31507 ti = "16/35659/31507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35659/31507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35659 ÷ 216
    35659 ÷ 65536     		x = 0.544113159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31507 ÷ 216
    31507 ÷ 65536     		y = 0.480758666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544113159179688 × 2 - 1) × π
    0.088226318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27717115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480758666992188 × 2 - 1) × π
    0.038482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.120896860841782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27717115} λ = 0.27717115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.120896860841782))-π/2
    2×atan(1.12850851294671)-π/2
    2×0.845699876718413-π/2
    1.69139975343683-1.57079632675     		φ = 0.12060343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27717115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.880737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12060343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.910068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35659 KachelY 31507 0.27717115 0.12060343 15.880737 6.910068
    Oben rechts KachelX + 1 35660 KachelY 31507 0.27726703 0.12060343 15.886231 6.910068
    Unten links KachelX 35659 KachelY + 1 31508 0.27717115 0.12050825 15.880737 6.904614
    Unten rechts KachelX + 1 35660 KachelY + 1 31508 0.27726703 0.12050825 15.886231 6.904614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12060343-0.12050825) × R
    9.51800000000003e-05 × 6371000     		dl = 606.391780000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12060343-0.12050825) × R
    9.51800000000003e-05 × 6371000     		dr = 606.391780000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27717115-0.27726703) × cos(0.12060343) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.992736217166417 × 6371000     		do = 606.414387506012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27717115-0.27726703) × cos(0.12050825) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.992747663896932 × 6371000     		du = 606.421379758288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12060343)-sin(0.12050825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992736217166417-0.992747663896932)×R²
    abs(0.27726703-0.27717115)×1.1446730515674e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.1446730515674e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.1446730515674e-05×40589641000000     		ar = 367726.8201571m²