Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35658 / 31508
↖ ↑ ↗
← N  6.904614°
E 15.875244°		 ← 606.36 m → N  6.904614°
E 15.880737°		 →
↑
606.39 m
↓
↑
606.39 m
↓
N  6.899161°
E 15.875244°		 ← 606.37 m →
367 693 m²		 N  6.899161°
E 15.880737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544105529785156 y=0.480781555175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544105529785156 × 216)
    floor (0.544105529785156 × 65536)
    floor (35658.5)     		tx = 35658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480781555175781 × 216)
    floor (0.480781555175781 × 65536)
    floor (31508.5)     		ty = 31508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35658 / 31508 ti = "16/35658/31508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35658/31508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35658 ÷ 216
    35658 ÷ 65536     		x = 0.544097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31508 ÷ 216
    31508 ÷ 65536     		y = 0.48077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544097900390625 × 2 - 1) × π
    0.08819580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27707528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48077392578125 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.120800987042542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27707528} λ = 0.27707528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.120800987042542))-π/2
    2×atan(1.12840032373444)-π/2
    2×0.845652287747612-π/2
    1.69130457549522-1.57079632675     		φ = 0.12050825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27707528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.875244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12050825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.904614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35658 KachelY 31508 0.27707528 0.12050825 15.875244 6.904614
    Oben rechts KachelX + 1 35659 KachelY 31508 0.27717115 0.12050825 15.880737 6.904614
    Unten links KachelX 35658 KachelY + 1 31509 0.27707528 0.12041307 15.875244 6.899161
    Unten rechts KachelX + 1 35659 KachelY + 1 31509 0.27717115 0.12041307 15.880737 6.899161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12050825-0.12041307) × R
    9.51800000000003e-05 × 6371000     		dl = 606.391780000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12050825-0.12041307) × R
    9.51800000000003e-05 × 6371000     		dr = 606.391780000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27707528-0.27717115) × cos(0.12050825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992747663896932 × 6371000     		do = 606.358131804304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27707528-0.27717115) × cos(0.12041307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992759101633916 × 6371000     		du = 606.36511783417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12050825)-sin(0.12041307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992747663896932-0.992759101633916)×R²
    abs(0.27717115-0.27707528)×1.14377369839769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.14377369839769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.14377369839769e-05×40589641000000     		ar = 367692.705275463m²