Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35658 / 104779
↖ ↑ ↗
← S 72.668591°
W 82.062378°		 ← 90.99 m → S 72.668591°
W 82.059631°		 →
↑
90.98 m
↓
↑
90.98 m
↓
S 72.669409°
W 82.062378°		 ← 90.98 m →
8 278 m²		 S 72.669409°
W 82.059631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272052764892578 y=0.799404144287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272052764892578 × 217)
    floor (0.272052764892578 × 131072)
    floor (35658.5)     		tx = 35658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799404144287109 × 217)
    floor (0.799404144287109 × 131072)
    floor (104779.5)     		ty = 104779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35658 / 104779 ti = "17/35658/104779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35658/104779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35658 ÷ 217
    35658 ÷ 131072     		x = 0.272048950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104779 ÷ 217
    104779 ÷ 131072     		y = 0.799400329589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272048950195312 × 2 - 1) × π
    -0.455902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43225869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799400329589844 × 2 - 1) × π
    -0.598800659179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.88118775178986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43225869} λ = -1.43225869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88118775178986))-π/2
    2×atan(0.152408974176629)-π/2
    2×0.151245075928555-π/2
    0.30249015185711-1.57079632675     		φ = -1.26830617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43225869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.062378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26830617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.668591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35658 KachelY 104779 -1.43225869 -1.26830617 -82.062378 -72.668591
    Oben rechts KachelX + 1 35659 KachelY 104779 -1.43221075 -1.26830617 -82.059631 -72.668591
    Unten links KachelX 35658 KachelY + 1 104780 -1.43225869 -1.26832045 -82.062378 -72.669409
    Unten rechts KachelX + 1 35659 KachelY + 1 104780 -1.43221075 -1.26832045 -82.059631 -72.669409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26830617--1.26832045) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dl = 90.9778800002112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26830617--1.26832045) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dr = 90.9778800002112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43225869--1.43221075) × cos(-1.26830617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297898225610241 × 6371000     		do = 90.9857860016351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43225869--1.43221075) × cos(-1.26832045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297884593925622 × 6371000     		du = 90.9816225342728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26830617)-sin(-1.26832045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297898225610241-0.297884593925622)×R²
    abs(-1.43221075--1.43225869)×1.36316846190421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36316846190421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36316846190421e-05×40589641000000     		ar = 8277.50452899406m²