Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35657 / 31467
↖ ↑ ↗
← N  7.128147°
E 15.869751°		 ← 606.07 m → N  7.128147°
E 15.875244°		 →
↑
606.14 m
↓
↑
606.14 m
↓
N  7.122696°
E 15.869751°		 ← 606.07 m →
367 362 m²		 N  7.122696°
E 15.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544090270996094 y=0.480155944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544090270996094 × 216)
    floor (0.544090270996094 × 65536)
    floor (35657.5)     		tx = 35657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480155944824219 × 216)
    floor (0.480155944824219 × 65536)
    floor (31467.5)     		ty = 31467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35657 / 31467 ti = "16/35657/31467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35657/31467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35657 ÷ 216
    35657 ÷ 65536     		x = 0.544082641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31467 ÷ 216
    31467 ÷ 65536     		y = 0.480148315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544082641601562 × 2 - 1) × π
    0.088165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27697941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480148315429688 × 2 - 1) × π
    0.039703369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.124731812811386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27697941} λ = 0.27697941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.124731812811386))-π/2
    2×atan(1.13284459791577)-π/2
    2×0.847602980909692-π/2
    1.69520596181938-1.57079632675     		φ = 0.12440964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27697941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.869751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12440964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.128147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35657 KachelY 31467 0.27697941 0.12440964 15.869751 7.128147
    Oben rechts KachelX + 1 35658 KachelY 31467 0.27707528 0.12440964 15.875244 7.128147
    Unten links KachelX 35657 KachelY + 1 31468 0.27697941 0.12431450 15.869751 7.122696
    Unten rechts KachelX + 1 35658 KachelY + 1 31468 0.27707528 0.12431450 15.875244 7.122696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12440964-0.12431450) × R
    9.51400000000074e-05 × 6371000     		dl = 606.136940000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12440964-0.12431450) × R
    9.51400000000074e-05 × 6371000     		dr = 606.136940000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27697941-0.27707528) × cos(0.12440964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992271097297849 × 6371000     		do = 606.067050753993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27697941-0.27707528) × cos(0.12431450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992282898630453 × 6371000     		du = 606.074258863617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12440964)-sin(0.12431450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992271097297849-0.992282898630453)×R²
    abs(0.27707528-0.27697941)×1.18013326044775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.18013326044775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.18013326044775e-05×40589641000000     		ar = 367361.812406747m²