Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35657 / 31466
↖ ↑ ↗
← N  7.133598°
E 15.869751°		 ← 606.06 m → N  7.133598°
E 15.875244°		 →
↑
606.07 m
↓
↑
606.07 m
↓
N  7.128147°
E 15.869751°		 ← 606.07 m →
367 319 m²		 N  7.128147°
E 15.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544090270996094 y=0.480140686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544090270996094 × 216)
    floor (0.544090270996094 × 65536)
    floor (35657.5)     		tx = 35657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480140686035156 × 216)
    floor (0.480140686035156 × 65536)
    floor (31466.5)     		ty = 31466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35657 / 31466 ti = "16/35657/31466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35657/31466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35657 ÷ 216
    35657 ÷ 65536     		x = 0.544082641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31466 ÷ 216
    31466 ÷ 65536     		y = 0.480133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544082641601562 × 2 - 1) × π
    0.088165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27697941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480133056640625 × 2 - 1) × π
    0.03973388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.124827686610626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27697941} λ = 0.27697941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.124827686610626))-π/2
    2×atan(1.13295321323792)-π/2
    2×0.847650547026692-π/2
    1.69530109405338-1.57079632675     		φ = 0.12450477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27697941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.869751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12450477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.133598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35657 KachelY 31466 0.27697941 0.12450477 15.869751 7.133598
    Oben rechts KachelX + 1 35658 KachelY 31466 0.27707528 0.12450477 15.875244 7.133598
    Unten links KachelX 35657 KachelY + 1 31467 0.27697941 0.12440964 15.869751 7.128147
    Unten rechts KachelX + 1 35658 KachelY + 1 31467 0.27707528 0.12440964 15.875244 7.128147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12450477-0.12440964) × R
    9.51299999999988e-05 × 6371000     		dl = 606.073229999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12450477-0.12440964) × R
    9.51299999999988e-05 × 6371000     		dr = 606.073229999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27697941-0.27707528) × cos(0.12450477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992259288225418 × 6371000     		do = 606.059837916977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27697941-0.27707528) × cos(0.12440964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992271097297849 × 6371000     		du = 606.067050753993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12450477)-sin(0.12440964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992259288225418-0.992271097297849)×R²
    abs(0.27707528-0.27697941)×1.1809072431368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.1809072431368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.1809072431368e-05×40589641000000     		ar = 367318.829570345m²