Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35657 / 19265
↖ ↑ ↗
← N 77.579368°
W 82.065124°		 ← 65.68 m → N 77.579368°
W 82.062378°		 →
↑
65.69 m
↓
↑
65.69 m
↓
N 77.578778°
W 82.065124°		 ← 65.68 m →
4 314 m²		 N 77.578778°
W 82.062378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272045135498047 y=0.146984100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272045135498047 × 217)
    floor (0.272045135498047 × 131072)
    floor (35657.5)     		tx = 35657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146984100341797 × 217)
    floor (0.146984100341797 × 131072)
    floor (19265.5)     		ty = 19265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35657 / 19265 ti = "17/35657/19265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35657/19265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35657 ÷ 217
    35657 ÷ 131072     		x = 0.272041320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19265 ÷ 217
    19265 ÷ 131072     		y = 0.146980285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272041320800781 × 2 - 1) × π
    -0.455917358398438 × 3.1415926535     		Λ = -1.43230662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146980285644531 × 2 - 1) × π
    0.706039428710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.21808828231962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43230662} λ = -1.43230662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21808828231962))-π/2
    2×atan(9.18974586281306)-π/2
    2×1.46240586852205-π/2
    2.9248117370441-1.57079632675     		φ = 1.35401541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43230662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.065124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35401541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.579368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35657 KachelY 19265 -1.43230662 1.35401541 -82.065124 77.579368
    Oben rechts KachelX + 1 35658 KachelY 19265 -1.43225869 1.35401541 -82.062378 77.579368
    Unten links KachelX 35657 KachelY + 1 19266 -1.43230662 1.35400510 -82.065124 77.578778
    Unten rechts KachelX + 1 35658 KachelY + 1 19266 -1.43225869 1.35400510 -82.062378 77.578778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35401541-1.35400510) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dl = 65.6850099997315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35401541-1.35400510) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dr = 65.6850099997315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43230662--1.43225869) × cos(1.35401541) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215087002716549 × 6371000     		do = 65.6794037761812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43230662--1.43225869) × cos(1.35400510) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215097071398444 × 6371000     		du = 65.6824783693241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35401541)-sin(1.35400510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215087002716549-0.215097071398444)×R²
    abs(-1.43225869--1.43230662)×1.00686818952644e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00686818952644e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00686818952644e-05×40589641000000     		ar = 4314.25327117869m²