Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35656 / 31531
↖ ↑ ↗
← N  6.779171°
E 15.864258°		 ← 606.58 m → N  6.779171°
E 15.869751°		 →
↑
606.58 m
↓
↑
606.58 m
↓
N  6.773716°
E 15.864258°		 ← 606.59 m →
367 944 m²		 N  6.773716°
E 15.869751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544075012207031 y=0.481132507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544075012207031 × 216)
    floor (0.544075012207031 × 65536)
    floor (35656.5)     		tx = 35656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481132507324219 × 216)
    floor (0.481132507324219 × 65536)
    floor (31531.5)     		ty = 31531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35656 / 31531 ti = "16/35656/31531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35656/31531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35656 ÷ 216
    35656 ÷ 65536     		x = 0.5440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31531 ÷ 216
    31531 ÷ 65536     		y = 0.481124877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5440673828125 × 2 - 1) × π
    0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481124877929688 × 2 - 1) × π
    0.037750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.118595889660019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27688353} λ = 0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118595889660019))-π/2
    2×atan(1.12591483251636)-π/2
    2×0.844557590894216-π/2
    1.68911518178843-1.57079632675     		φ = 0.11831886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11831886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.779171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35656 KachelY 31531 0.27688353 0.11831886 15.864258 6.779171
    Oben rechts KachelX + 1 35657 KachelY 31531 0.27697941 0.11831886 15.869751 6.779171
    Unten links KachelX 35656 KachelY + 1 31532 0.27688353 0.11822365 15.864258 6.773716
    Unten rechts KachelX + 1 35657 KachelY + 1 31532 0.27697941 0.11822365 15.869751 6.773716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11831886-0.11822365) × R
    9.52099999999984e-05 × 6371000     		dl = 606.58290999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11831886-0.11822365) × R
    9.52099999999984e-05 × 6371000     		dr = 606.58290999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27688353-0.27697941) × cos(0.11831886) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993008485785941 × 6371000     		do = 606.580703194855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27688353-0.27697941) × cos(0.11822365) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993019720158085 × 6371000     		du = 606.587565727706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11831886)-sin(0.11822365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993008485785941-0.993019720158085)×R²
    abs(0.27697941-0.27688353)×1.12343721441199e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.12343721441199e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.12343721441199e-05×40589641000000     		ar = 367943.569719326m²