Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35655 / 103749
↖ ↑ ↗
← S 71.805698°
W 82.070618°		 ← 95.37 m → S 71.805698°
W 82.067871°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
S 71.806556°
W 82.070618°		 ← 95.36 m →
9 095 m²		 S 71.806556°
W 82.067871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272029876708984 y=0.791545867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272029876708984 × 217)
    floor (0.272029876708984 × 131072)
    floor (35655.5)     		tx = 35655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791545867919922 × 217)
    floor (0.791545867919922 × 131072)
    floor (103749.5)     		ty = 103749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35655 / 103749 ti = "17/35655/103749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35655/103749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35655 ÷ 217
    35655 ÷ 131072     		x = 0.272026062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103749 ÷ 217
    103749 ÷ 131072     		y = 0.791542053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272026062011719 × 2 - 1) × π
    -0.455947875976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.43240250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791542053222656 × 2 - 1) × π
    -0.583084106445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.83181274518121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43240250} λ = -1.43240250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83181274518121))-π/2
    2×atan(0.160123042257111)-π/2
    2×0.158775230882507-π/2
    0.317550461765014-1.57079632675     		φ = -1.25324586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43240250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.070618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25324586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.805698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35655 KachelY 103749 -1.43240250 -1.25324586 -82.070618 -71.805698
    Oben rechts KachelX + 1 35656 KachelY 103749 -1.43235456 -1.25324586 -82.067871 -71.805698
    Unten links KachelX 35655 KachelY + 1 103750 -1.43240250 -1.25326083 -82.070618 -71.806556
    Unten rechts KachelX + 1 35656 KachelY + 1 103750 -1.43235456 -1.25326083 -82.067871 -71.806556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25324586--1.25326083) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dl = 95.373870000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25324586--1.25326083) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dr = 95.373870000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43240250--1.43235456) × cos(-1.25324586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312240435532631 × 6371000     		do = 95.3662660804136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43240250--1.43235456) × cos(-1.25326083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312226213951077 × 6371000     		du = 95.3619224433435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25324586)-sin(-1.25326083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312240435532631-0.312226213951077)×R²
    abs(-1.43235456--1.43240250)×1.42215815540081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42215815540081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42215815540081e-05×40589641000000     		ar = 9095.24272886402m²