Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35654 / 19267
↖ ↑ ↗
← N 77.578187°
W 82.073364°		 ← 65.69 m → N 77.578187°
W 82.070618°		 →
↑
65.69 m
↓
↑
65.69 m
↓
N 77.577596°
W 82.073364°		 ← 65.69 m →
4 315 m²		 N 77.577596°
W 82.070618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272022247314453 y=0.146999359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272022247314453 × 217)
    floor (0.272022247314453 × 131072)
    floor (35654.5)     		tx = 35654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146999359130859 × 217)
    floor (0.146999359130859 × 131072)
    floor (19267.5)     		ty = 19267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35654 / 19267 ti = "17/35654/19267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35654/19267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35654 ÷ 217
    35654 ÷ 131072     		x = 0.272018432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19267 ÷ 217
    19267 ÷ 131072     		y = 0.146995544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272018432617188 × 2 - 1) × π
    -0.455963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.43245043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146995544433594 × 2 - 1) × π
    0.706008911132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.21799240852038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43245043} λ = -1.43245043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21799240852038))-π/2
    2×atan(9.18886484919688)-π/2
    2×1.4623955574353-π/2
    2.92479111487059-1.57079632675     		φ = 1.35399479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43245043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.073364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35399479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.578187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35654 KachelY 19267 -1.43245043 1.35399479 -82.073364 77.578187
    Oben rechts KachelX + 1 35655 KachelY 19267 -1.43240250 1.35399479 -82.070618 77.578187
    Unten links KachelX 35654 KachelY + 1 19268 -1.43245043 1.35398448 -82.073364 77.577596
    Unten rechts KachelX + 1 35655 KachelY + 1 19268 -1.43240250 1.35398448 -82.070618 77.577596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35399479-1.35398448) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dl = 65.6850099997315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35399479-1.35398448) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dr = 65.6850099997315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43245043--1.43240250) × cos(1.35399479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215107140057476 × 6371000     		do = 65.6855529554853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43245043--1.43240250) × cos(1.35398448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215117208693642 × 6371000     		du = 65.6886275346644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35399479)-sin(1.35398448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215107140057476-0.215117208693642)×R²
    abs(-1.43240250--1.43245043)×1.00686361662328e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00686361662328e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00686361662328e-05×40589641000000     		ar = 4314.65717974909m²