Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35654 / 103746
↖ ↑ ↗
← S 71.803126°
W 82.073364°		 ← 95.36 m → S 71.803126°
W 82.070618°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
S 71.803984°
W 82.073364°		 ← 95.36 m →
9 095 m²		 S 71.803984°
W 82.070618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272022247314453 y=0.791522979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272022247314453 × 217)
    floor (0.272022247314453 × 131072)
    floor (35654.5)     		tx = 35654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791522979736328 × 217)
    floor (0.791522979736328 × 131072)
    floor (103746.5)     		ty = 103746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35654 / 103746 ti = "17/35654/103746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35654/103746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35654 ÷ 217
    35654 ÷ 131072     		x = 0.272018432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103746 ÷ 217
    103746 ÷ 131072     		y = 0.791519165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272018432617188 × 2 - 1) × π
    -0.455963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.43245043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791519165039062 × 2 - 1) × π
    -0.583038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.83166893448235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43245043} λ = -1.43245043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83166893448235))-π/2
    2×atan(0.160146071319595)-π/2
    2×0.158797684173535-π/2
    0.317595368347071-1.57079632675     		φ = -1.25320096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43245043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.073364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25320096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.803126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35654 KachelY 103746 -1.43245043 -1.25320096 -82.073364 -71.803126
    Oben rechts KachelX + 1 35655 KachelY 103746 -1.43240250 -1.25320096 -82.070618 -71.803126
    Unten links KachelX 35654 KachelY + 1 103747 -1.43245043 -1.25321593 -82.073364 -71.803984
    Unten rechts KachelX + 1 35655 KachelY + 1 103747 -1.43240250 -1.25321593 -82.070618 -71.803984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25320096--1.25321593) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dl = 95.373870000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25320096--1.25321593) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dr = 95.373870000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43245043--1.43240250) × cos(-1.25320096) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.312283090357549 × 6371000     		do = 95.3593984063129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43245043--1.43240250) × cos(-1.25321593) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.312268868985878 × 6371000     		du = 95.3550557393901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25320096)-sin(-1.25321593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312283090357549-0.312268868985878)×R²
    abs(-1.43240250--1.43245043)×1.42213716711193e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42213716711193e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42213716711193e-05×40589641000000     		ar = 9094.58777852598m²