Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35652 / 103751
↖ ↑ ↗
← S 71.807414°
W 82.078858°		 ← 95.36 m → S 71.807414°
W 82.076111°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
S 71.808272°
W 82.078858°		 ← 95.35 m →
9 094 m²		 S 71.808272°
W 82.076111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272006988525391 y=0.791561126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272006988525391 × 217)
    floor (0.272006988525391 × 131072)
    floor (35652.5)     		tx = 35652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791561126708984 × 217)
    floor (0.791561126708984 × 131072)
    floor (103751.5)     		ty = 103751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35652 / 103751 ti = "17/35652/103751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35652/103751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35652 ÷ 217
    35652 ÷ 131072     		x = 0.272003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103751 ÷ 217
    103751 ÷ 131072     		y = 0.791557312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.45599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43254631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791557312011719 × 2 - 1) × π
    -0.583114624023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.83190861898045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43254631} λ = -1.43254631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83190861898045))-π/2
    2×atan(0.160107691388589)-π/2
    2×0.158760263725941-π/2
    0.317520527451881-1.57079632675     		φ = -1.25327580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43254631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.078858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25327580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.807414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35652 KachelY 103751 -1.43254631 -1.25327580 -82.078858 -71.807414
    Oben rechts KachelX + 1 35653 KachelY 103751 -1.43249837 -1.25327580 -82.076111 -71.807414
    Unten links KachelX 35652 KachelY + 1 103752 -1.43254631 -1.25329077 -82.078858 -71.808272
    Unten rechts KachelX + 1 35653 KachelY + 1 103752 -1.43249837 -1.25329077 -82.076111 -71.808272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25327580--1.25329077) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dl = 95.373870000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25327580--1.25329077) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dr = 95.373870000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43254631--1.43249837) × cos(-1.25327580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312211992299553 × 6371000     		do = 95.3575787849027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43254631--1.43249837) × cos(-1.25329077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312197770578062 × 6371000     		du = 95.3532351050922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25327580)-sin(-1.25329077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312211992299553-0.312197770578062)×R²
    abs(-1.43249837--1.43254631)×1.42217214911811e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42217214911811e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42217214911811e-05×40589641000000     		ar = 9094.41418597037m²