Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35652 / 103747
↖ ↑ ↗
← S 71.803984°
W 82.078858°		 ← 95.37 m → S 71.803984°
W 82.076111°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
S 71.804841°
W 82.078858°		 ← 95.37 m →
9 096 m²		 S 71.804841°
W 82.076111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272006988525391 y=0.791530609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272006988525391 × 217)
    floor (0.272006988525391 × 131072)
    floor (35652.5)     		tx = 35652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791530609130859 × 217)
    floor (0.791530609130859 × 131072)
    floor (103747.5)     		ty = 103747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35652 / 103747 ti = "17/35652/103747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35652/103747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35652 ÷ 217
    35652 ÷ 131072     		x = 0.272003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103747 ÷ 217
    103747 ÷ 131072     		y = 0.791526794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.45599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43254631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791526794433594 × 2 - 1) × π
    -0.583053588867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.83171687138197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43254631} λ = -1.43254631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83171687138197))-π/2
    2×atan(0.16013839459745)-π/2
    2×0.15879019940235-π/2
    0.317580398804701-1.57079632675     		φ = -1.25321593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43254631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.078858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25321593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.803984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35652 KachelY 103747 -1.43254631 -1.25321593 -82.078858 -71.803984
    Oben rechts KachelX + 1 35653 KachelY 103747 -1.43249837 -1.25321593 -82.076111 -71.803984
    Unten links KachelX 35652 KachelY + 1 103748 -1.43254631 -1.25323090 -82.078858 -71.804841
    Unten rechts KachelX + 1 35653 KachelY + 1 103748 -1.43249837 -1.25323090 -82.076111 -71.804841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25321593--1.25323090) × R
    1.49699999998365e-05 × 6371000     		dl = 95.3738699989584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25321593--1.25323090) × R
    1.49699999998365e-05 × 6371000     		dr = 95.3738699989584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43254631--1.43249837) × cos(-1.25321593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312268868985878 × 6371000     		do = 95.3749503889123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43254631--1.43249837) × cos(-1.25323090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312254647544227 × 6371000     		du = 95.3706067945722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25321593)-sin(-1.25323090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312268868985878-0.312254647544227)×R²
    abs(-1.43249837--1.43254631)×1.42214416506414e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42214416506414e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42214416506414e-05×40589641000000     		ar = 9096.07098702397m²