Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35651 / 31538
↖ ↑ ↗
← N  6.740986°
E 15.836792°		 ← 606.63 m → N  6.740986°
E 15.842285°		 →
↑
606.58 m
↓
↑
606.58 m
↓
N  6.735531°
E 15.836792°		 ← 606.64 m →
367 973 m²		 N  6.735531°
E 15.842285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543998718261719 y=0.481239318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543998718261719 × 216)
    floor (0.543998718261719 × 65536)
    floor (35651.5)     		tx = 35651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481239318847656 × 216)
    floor (0.481239318847656 × 65536)
    floor (31538.5)     		ty = 31538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35651 / 31538 ti = "16/35651/31538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35651/31538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35651 ÷ 216
    35651 ÷ 65536     		x = 0.543991088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31538 ÷ 216
    31538 ÷ 65536     		y = 0.481231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543991088867188 × 2 - 1) × π
    0.087982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27640416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481231689453125 × 2 - 1) × π
    0.03753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.117924773065338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27640416} λ = 0.27640416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117924773065338))-π/2
    2×atan(1.12515946588595)-π/2
    2×0.844224365482964-π/2
    1.68844873096593-1.57079632675     		φ = 0.11765240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27640416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.836792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11765240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.740986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35651 KachelY 31538 0.27640416 0.11765240 15.836792 6.740986
    Oben rechts KachelX + 1 35652 KachelY 31538 0.27650004 0.11765240 15.842285 6.740986
    Unten links KachelX 35651 KachelY + 1 31539 0.27640416 0.11755719 15.836792 6.735531
    Unten rechts KachelX + 1 35652 KachelY + 1 31539 0.27650004 0.11755719 15.842285 6.735531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11765240-0.11755719) × R
    9.52099999999984e-05 × 6371000     		dl = 606.58290999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11765240-0.11755719) × R
    9.52099999999984e-05 × 6371000     		dr = 606.58290999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27640416-0.27650004) × cos(0.11765240) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993086936178547 × 6371000     		do = 606.628624733285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27640416-0.27650004) × cos(0.11755719) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993098107537825 × 6371000     		du = 606.635448774633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11765240)-sin(0.11755719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993086936178547-0.993098107537825)×R²
    abs(0.27650004-0.27640416)×1.11713592778617e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.11713592778617e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.11713592778617e-05×40589641000000     		ar = 367972.626431405m²