Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35651 / 19266
↖ ↑ ↗
← N 77.578778°
W 82.081604°		 ← 65.70 m → N 77.578778°
W 82.078858°		 →
↑
65.69 m
↓
↑
65.69 m
↓
N 77.578187°
W 82.081604°		 ← 65.70 m →
4 315 m²		 N 77.578187°
W 82.078858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271999359130859 y=0.146991729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271999359130859 × 217)
    floor (0.271999359130859 × 131072)
    floor (35651.5)     		tx = 35651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146991729736328 × 217)
    floor (0.146991729736328 × 131072)
    floor (19266.5)     		ty = 19266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35651 / 19266 ti = "17/35651/19266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35651/19266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35651 ÷ 217
    35651 ÷ 131072     		x = 0.271995544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19266 ÷ 217
    19266 ÷ 131072     		y = 0.146987915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271995544433594 × 2 - 1) × π
    -0.456008911132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.43259425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146987915039062 × 2 - 1) × π
    0.706024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21804034542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43259425} λ = -1.43259425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21804034542))-π/2
    2×atan(9.18930534544671)-π/2
    2×1.46240071309935-π/2
    2.9248014261987-1.57079632675     		φ = 1.35400510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43259425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.081604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35400510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.578778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35651 KachelY 19266 -1.43259425 1.35400510 -82.081604 77.578778
    Oben rechts KachelX + 1 35652 KachelY 19266 -1.43254631 1.35400510 -82.078858 77.578778
    Unten links KachelX 35651 KachelY + 1 19267 -1.43259425 1.35399479 -82.081604 77.578187
    Unten rechts KachelX + 1 35652 KachelY + 1 19267 -1.43254631 1.35399479 -82.078858 77.578187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35400510-1.35399479) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dl = 65.6850099997315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35400510-1.35399479) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dr = 65.6850099997315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43259425--1.43254631) × cos(1.35400510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215097071398444 × 6371000     		do = 65.6961822036597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43259425--1.43254631) × cos(1.35399479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215107140057476 × 6371000     		du = 65.6992574312951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35400510)-sin(1.35399479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215097071398444-0.215107140057476)×R²
    abs(-1.43254631--1.43259425)×1.00686590312482e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00686590312482e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00686590312482e-05×40589641000000     		ar = 4315.35538313486m²