Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35651 / 103753
↖ ↑ ↗
← S 71.809129°
W 82.081604°		 ← 95.35 m → S 71.809129°
W 82.078858°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
S 71.809986°
W 82.081604°		 ← 95.34 m →
9 094 m²		 S 71.809986°
W 82.078858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271999359130859 y=0.791576385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271999359130859 × 217)
    floor (0.271999359130859 × 131072)
    floor (35651.5)     		tx = 35651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791576385498047 × 217)
    floor (0.791576385498047 × 131072)
    floor (103753.5)     		ty = 103753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35651 / 103753 ti = "17/35651/103753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35651/103753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35651 ÷ 217
    35651 ÷ 131072     		x = 0.271995544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103753 ÷ 217
    103753 ÷ 131072     		y = 0.791572570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271995544433594 × 2 - 1) × π
    -0.456008911132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.43259425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791572570800781 × 2 - 1) × π
    -0.583145141601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.83200449277969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43259425} λ = -1.43259425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83200449277969))-π/2
    2×atan(0.160092341991742)-π/2
    2×0.15874529793254-π/2
    0.317490595865081-1.57079632675     		φ = -1.25330573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43259425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.081604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25330573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.809129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35651 KachelY 103753 -1.43259425 -1.25330573 -82.081604 -71.809129
    Oben rechts KachelX + 1 35652 KachelY 103753 -1.43254631 -1.25330573 -82.078858 -71.809129
    Unten links KachelX 35651 KachelY + 1 103754 -1.43259425 -1.25332070 -82.081604 -71.809986
    Unten rechts KachelX + 1 35652 KachelY + 1 103754 -1.43254631 -1.25332070 -82.078858 -71.809986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25330573--1.25332070) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dl = 95.373870000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25330573--1.25332070) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dr = 95.373870000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43259425--1.43254631) × cos(-1.25330573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312183558286825 × 6371000     		do = 95.3488943055241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43259425--1.43254631) × cos(-1.25332070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312169336425456 × 6371000     		du = 95.3445505829914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25330573)-sin(-1.25332070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312183558286825-0.312169336425456)×R²
    abs(-1.43254631--1.43259425)×1.42218613688461e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42218613688461e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42218613688461e-05×40589641000000     		ar = 9093.58591160782m²