Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3565 / 4049
↖ ↑ ↗
← N 79.267916°
W140.833740°		 ← 227.48 m → N 79.267916°
W140.822754°		 →
↑
227.51 m
↓
↑
227.51 m
↓
N 79.265870°
W140.833740°		 ← 227.52 m →
51 758 m²		 N 79.265870°
W140.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108810424804688 y=0.123580932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108810424804688 × 215)
    floor (0.108810424804688 × 32768)
    floor (3565.5)     		tx = 3565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123580932617188 × 215)
    floor (0.123580932617188 × 32768)
    floor (4049.5)     		ty = 4049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3565 / 4049 ti = "15/3565/4049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3565/4049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3565 ÷ 215
    3565 ÷ 32768     		x = 0.108795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4049 ÷ 215
    4049 ÷ 32768     		y = 0.123565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.78240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45801246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123565673828125 × 2 - 1) × π
    0.75286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36520662725357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45801246} λ = -2.45801246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36520662725357))-π/2
    2×atan(10.6462383932561)-π/2
    2×1.47714122601977-π/2
    2.95428245203953-1.57079632675     		φ = 1.38348613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45801246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.833740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38348613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.267916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3565 KachelY 4049 -2.45801246 1.38348613 -140.833740 79.267916
    Oben rechts KachelX + 1 3566 KachelY 4049 -2.45782072 1.38348613 -140.822754 79.267916
    Unten links KachelX 3565 KachelY + 1 4050 -2.45801246 1.38345042 -140.833740 79.265870
    Unten rechts KachelX + 1 3566 KachelY + 1 4050 -2.45782072 1.38345042 -140.822754 79.265870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38348613-1.38345042) × R
    3.57100000001331e-05 × 6371000     		dl = 227.508410000848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38348613-1.38345042) × R
    3.57100000001331e-05 × 6371000     		dr = 227.508410000848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45801246--2.45782072) × cos(1.38348613) × R
    0.000191739999999996 × 0.186216816822021 × 6371000     		do = 227.477908566436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45801246--2.45782072) × cos(1.38345042) × R
    0.000191739999999996 × 0.186251902088078 × 6371000     		du = 227.520767869266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38348613)-sin(1.38345042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186216816822021-0.186251902088078)×R²
    abs(-2.45782072--2.45801246)×3.5085266057111e-05×R²
    0.000191739999999996×3.5085266057111e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.5085266057111e-05×40589641000000     		ar = 51758.0127195303m²