Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35649 / 31534
↖ ↑ ↗
← N  6.762806°
E 15.825806°		 ← 606.54 m → N  6.762806°
E 15.831299°		 →
↑
606.58 m
↓
↑
606.58 m
↓
N  6.757351°
E 15.825806°		 ← 606.54 m →
367 918 m²		 N  6.757351°
E 15.831299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543968200683594 y=0.481178283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543968200683594 × 216)
    floor (0.543968200683594 × 65536)
    floor (35649.5)     		tx = 35649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481178283691406 × 216)
    floor (0.481178283691406 × 65536)
    floor (31534.5)     		ty = 31534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35649 / 31534 ti = "16/35649/31534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35649/31534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35649 ÷ 216
    35649 ÷ 65536     		x = 0.543960571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31534 ÷ 216
    31534 ÷ 65536     		y = 0.481170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543960571289062 × 2 - 1) × π
    0.087921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27621242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481170654296875 × 2 - 1) × π
    0.03765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.118308268262299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27621242} λ = 0.27621242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118308268262299))-π/2
    2×atan(1.1255910418853)-π/2
    2×0.844414783227491-π/2
    1.68882956645498-1.57079632675     		φ = 0.11803324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27621242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.825806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11803324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.762806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35649 KachelY 31534 0.27621242 0.11803324 15.825806 6.762806
    Oben rechts KachelX + 1 35650 KachelY 31534 0.27630829 0.11803324 15.831299 6.762806
    Unten links KachelX 35649 KachelY + 1 31535 0.27621242 0.11793803 15.825806 6.757351
    Unten rechts KachelX + 1 35650 KachelY + 1 31535 0.27630829 0.11793803 15.831299 6.757351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11803324-0.11793803) × R
    9.52099999999984e-05 × 6371000     		dl = 606.58290999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11803324-0.11793803) × R
    9.52099999999984e-05 × 6371000     		dr = 606.58290999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27621242-0.27630829) × cos(0.11803324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993042160719674 × 6371000     		do = 606.538006861938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27621242-0.27630829) × cos(0.11793803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993053368087454 × 6371000     		du = 606.544852185112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11803324)-sin(0.11793803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993042160719674-0.993053368087454)×R²
    abs(0.27630829-0.27621242)×1.12073677798197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.12073677798197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.12073677798197e-05×40589641000000     		ar = 367917.665633878m²