Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35645 / 37973
↖ ↑ ↗
← S 27.474161°
E 15.803833°		 ← 541.90 m → S 27.474161°
E 15.809326°		 →
↑
541.92 m
↓
↑
541.92 m
↓
S 27.479035°
E 15.803833°		 ← 541.88 m →
293 660 m²		 S 27.479035°
E 15.809326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543907165527344 y=0.579429626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543907165527344 × 216)
    floor (0.543907165527344 × 65536)
    floor (35645.5)     		tx = 35645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579429626464844 × 216)
    floor (0.579429626464844 × 65536)
    floor (37973.5)     		ty = 37973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35645 / 37973 ti = "16/35645/37973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35645/37973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35645 ÷ 216
    35645 ÷ 65536     		x = 0.543899536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37973 ÷ 216
    37973 ÷ 65536     		y = 0.579421997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543899536132812 × 2 - 1) × π
    0.087799072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27582892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579421997070312 × 2 - 1) × π
    -0.158843994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.499023125044785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27582892} λ = 0.27582892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.499023125044785))-π/2
    2×atan(0.607123453819394)-π/2
    2×0.545640877139726-π/2
    1.09128175427945-1.57079632675     		φ = -0.47951457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27582892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.803833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47951457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.474161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35645 KachelY 37973 0.27582892 -0.47951457 15.803833 -27.474161
    Oben rechts KachelX + 1 35646 KachelY 37973 0.27592479 -0.47951457 15.809326 -27.474161
    Unten links KachelX 35645 KachelY + 1 37974 0.27582892 -0.47959963 15.803833 -27.479035
    Unten rechts KachelX + 1 35646 KachelY + 1 37974 0.27592479 -0.47959963 15.809326 -27.479035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47951457--0.47959963) × R
    8.50600000000257e-05 × 6371000     		dl = 541.917260000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47951457--0.47959963) × R
    8.50600000000257e-05 × 6371000     		dr = 541.917260000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27582892-0.27592479) × cos(-0.47951457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887218979728911 × 6371000     		do = 541.902502130285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27582892-0.27592479) × cos(-0.47959963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887179734211928 × 6371000     		du = 541.878531448484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47951457)-sin(-0.47959963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887218979728911-0.887179734211928)×R²
    abs(0.27592479-0.27582892)×3.92455169829775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92455169829775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92455169829775e-05×40589641000000     		ar = 293659.824255565m²