Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35644 / 37974
↖ ↑ ↗
← S 27.479035°
E 15.798340°		 ← 541.88 m → S 27.479035°
E 15.803833°		 →
↑
541.92 m
↓
↑
541.92 m
↓
S 27.483908°
E 15.798340°		 ← 541.85 m →
293 647 m²		 S 27.483908°
E 15.803833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543891906738281 y=0.579444885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543891906738281 × 216)
    floor (0.543891906738281 × 65536)
    floor (35644.5)     		tx = 35644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579444885253906 × 216)
    floor (0.579444885253906 × 65536)
    floor (37974.5)     		ty = 37974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35644 / 37974 ti = "16/35644/37974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35644/37974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35644 ÷ 216
    35644 ÷ 65536     		x = 0.54388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37974 ÷ 216
    37974 ÷ 65536     		y = 0.579437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54388427734375 × 2 - 1) × π
    0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.15887451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.499118998844025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27573305} λ = 0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.499118998844025))-π/2
    2×atan(0.607065249377454)-π/2
    2×0.545598347553236-π/2
    1.09119669510647-1.57079632675     		φ = -0.47959963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47959963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.479035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35644 KachelY 37974 0.27573305 -0.47959963 15.798340 -27.479035
    Oben rechts KachelX + 1 35645 KachelY 37974 0.27582892 -0.47959963 15.803833 -27.479035
    Unten links KachelX 35644 KachelY + 1 37975 0.27573305 -0.47968469 15.798340 -27.483908
    Unten rechts KachelX + 1 35645 KachelY + 1 37975 0.27582892 -0.47968469 15.803833 -27.483908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47959963--0.47968469) × R
    8.50600000000257e-05 × 6371000     		dl = 541.917260000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47959963--0.47968469) × R
    8.50600000000257e-05 × 6371000     		dr = 541.917260000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27573305-0.27582892) × cos(-0.47959963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887179734211928 × 6371000     		do = 541.878531448484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27573305-0.27582892) × cos(-0.47968469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887140482276019 × 6371000     		du = 541.854556846082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47959963)-sin(-0.47968469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887179734211928-0.887140482276019)×R²
    abs(0.27582892-0.27573305)×3.92519359089238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92519359089238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92519359089238e-05×40589641000000     		ar = 293646.833067143m²