Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35643 / 104146
↖ ↑ ↗
← S 72.143102°
W 82.103577°		 ← 93.66 m → S 72.143102°
W 82.100830°		 →
↑
93.65 m
↓
↑
93.65 m
↓
S 72.143945°
W 82.103577°		 ← 93.65 m →
8 771 m²		 S 72.143945°
W 82.100830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271938323974609 y=0.794574737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271938323974609 × 217)
    floor (0.271938323974609 × 131072)
    floor (35643.5)     		tx = 35643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794574737548828 × 217)
    floor (0.794574737548828 × 131072)
    floor (104146.5)     		ty = 104146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35643 / 104146 ti = "17/35643/104146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35643/104146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35643 ÷ 217
    35643 ÷ 131072     		x = 0.271934509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104146 ÷ 217
    104146 ÷ 131072     		y = 0.794570922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271934509277344 × 2 - 1) × π
    -0.456130981445312 × 3.1415926535     		Λ = -1.43297774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794570922851562 × 2 - 1) × π
    -0.589141845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85084369433037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43297774} λ = -1.43297774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85084369433037))-π/2
    2×atan(0.15710456215444)-π/2
    2×0.15583082905314-π/2
    0.311661658106281-1.57079632675     		φ = -1.25913467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43297774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.103577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25913467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.143102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35643 KachelY 104146 -1.43297774 -1.25913467 -82.103577 -72.143102
    Oben rechts KachelX + 1 35644 KachelY 104146 -1.43292980 -1.25913467 -82.100830 -72.143102
    Unten links KachelX 35643 KachelY + 1 104147 -1.43297774 -1.25914937 -82.103577 -72.143945
    Unten rechts KachelX + 1 35644 KachelY + 1 104147 -1.43292980 -1.25914937 -82.100830 -72.143945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25913467--1.25914937) × R
    1.47000000001452e-05 × 6371000     		dl = 93.6537000009248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25913467--1.25914937) × R
    1.47000000001452e-05 × 6371000     		dr = 93.6537000009248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43297774--1.43292980) × cos(-1.25913467) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.306640666113526 × 6371000     		do = 93.655952362189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43297774--1.43292980) × cos(-1.25914937) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.306626674247712 × 6371000     		du = 93.6516788862188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25913467)-sin(-1.25914937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306640666113526-0.306626674247712)×R²
    abs(-1.43292980--1.43297774)×1.39918658140781e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.39918658140781e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.39918658140781e-05×40589641000000     		ar = 8771.02635247968m²