Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35642 / 104151
↖ ↑ ↗
← S 72.147313°
W 82.106323°		 ← 93.63 m → S 72.147313°
W 82.103577°		 →
↑
93.59 m
↓
↑
93.59 m
↓
S 72.148155°
W 82.106323°		 ← 93.63 m →
8 763 m²		 S 72.148155°
W 82.103577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271930694580078 y=0.794612884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271930694580078 × 217)
    floor (0.271930694580078 × 131072)
    floor (35642.5)     		tx = 35642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794612884521484 × 217)
    floor (0.794612884521484 × 131072)
    floor (104151.5)     		ty = 104151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35642 / 104151 ti = "17/35642/104151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35642/104151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35642 ÷ 217
    35642 ÷ 131072     		x = 0.271926879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104151 ÷ 217
    104151 ÷ 131072     		y = 0.794609069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271926879882812 × 2 - 1) × π
    -0.456146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43302568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794609069824219 × 2 - 1) × π
    -0.589218139648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.85108337882847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43302568} λ = -1.43302568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85108337882847))-π/2
    2×atan(0.157066911138674)-π/2
    2×0.155794084737489-π/2
    0.311588169474979-1.57079632675     		φ = -1.25920816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43302568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.106323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25920816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.147313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35642 KachelY 104151 -1.43302568 -1.25920816 -82.106323 -72.147313
    Oben rechts KachelX + 1 35643 KachelY 104151 -1.43297774 -1.25920816 -82.103577 -72.147313
    Unten links KachelX 35642 KachelY + 1 104152 -1.43302568 -1.25922285 -82.106323 -72.148155
    Unten rechts KachelX + 1 35643 KachelY + 1 104152 -1.43297774 -1.25922285 -82.103577 -72.148155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25920816--1.25922285) × R
    1.46899999999839e-05 × 6371000     		dl = 93.5899899998973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25920816--1.25922285) × R
    1.46899999999839e-05 × 6371000     		dr = 93.5899899998973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43302568--1.43297774) × cos(-1.25920816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306570715640376 × 6371000     		do = 93.6345876867299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43302568--1.43297774) × cos(-1.25922285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306556732961866 × 6371000     		du = 93.630317016799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25920816)-sin(-1.25922285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306570715640376-0.306556732961866)×R²
    abs(-1.43297774--1.43302568)×1.39826785095498e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39826785095498e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39826785095498e-05×40589641000000     		ar = 8763.06027935749m²