Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3564 / 556
↖ ↑ ↗
← N 78.420193°
E133.242187°		 ← 1 961.77 m → N 78.420193°
E133.330078°		 →
↑
1 963.22 m
↓
↑
1 963.22 m
↓
N 78.402537°
E133.242187°		 ← 1 964.72 m →
3 854 290 m²		 N 78.402537°
E133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8702392578125 y=0.1358642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8702392578125 × 212)
    floor (0.8702392578125 × 4096)
    floor (3564.5)     		tx = 3564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1358642578125 × 212)
    floor (0.1358642578125 × 4096)
    floor (556.5)     		ty = 556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3564 / 556 ti = "12/3564/556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3564/556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3564 ÷ 212
    3564 ÷ 4096     		x = 0.8701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 556 ÷ 212
    556 ÷ 4096     		y = 0.1357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8701171875 × 2 - 1) × π
    0.740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32551487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1357421875 × 2 - 1) × π
    0.728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28869933545996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32551487} λ = 2.32551487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28869933545996))-π/2
    2×atan(9.86210204913144)-π/2
    2×1.46974344974837-π/2
    2.93948689949675-1.57079632675     		φ = 1.36869057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32551487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.242187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36869057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.420193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3564 KachelY 556 2.32551487 1.36869057 133.242187 78.420193
    Oben rechts KachelX + 1 3565 KachelY 556 2.32704886 1.36869057 133.330078 78.420193
    Unten links KachelX 3564 KachelY + 1 557 2.32551487 1.36838242 133.242187 78.402537
    Unten rechts KachelX + 1 3565 KachelY + 1 557 2.32704886 1.36838242 133.330078 78.402537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36869057-1.36838242) × R
    0.000308149999999952 × 6371000     		dl = 1963.22364999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36869057-1.36838242) × R
    0.000308149999999952 × 6371000     		dr = 1963.22364999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32551487-2.32704886) × cos(1.36869057) × R
    0.00153398999999999 × 0.200732670654823 × 6371000     		do = 1961.77048515558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32551487-2.32704886) × cos(1.36838242) × R
    0.00153398999999999 × 0.201034539051758 × 6371000     		du = 1964.72066017978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36869057)-sin(1.36838242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200732670654823-0.201034539051758)×R²
    abs(2.32704886-2.32551487)×0.000301868396934302×R²
    0.00153398999999999×0.000301868396934302×6371000²
    0.00153398999999999×0.000301868396934302×40589641000000     		ar = 3854290.16951745m²