Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35639 / 31441
↖ ↑ ↗
← N  7.269843°
E 15.770874°		 ← 605.88 m → N  7.269843°
E 15.776367°		 →
↑
605.88 m
↓
↑
605.88 m
↓
N  7.264394°
E 15.770874°		 ← 605.89 m →
367 093 m²		 N  7.264394°
E 15.776367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543815612792969 y=0.479759216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543815612792969 × 216)
    floor (0.543815612792969 × 65536)
    floor (35639.5)     		tx = 35639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479759216308594 × 216)
    floor (0.479759216308594 × 65536)
    floor (31441.5)     		ty = 31441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35639 / 31441 ti = "16/35639/31441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35639/31441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35639 ÷ 216
    35639 ÷ 65536     		x = 0.543807983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31441 ÷ 216
    31441 ÷ 65536     		y = 0.479751586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543807983398438 × 2 - 1) × π
    0.087615966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27525368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479751586914062 × 2 - 1) × π
    0.040496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.127224531591629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27525368} λ = 0.27525368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.127224531591629))-π/2
    2×atan(1.1356719833945)-π/2
    2×0.848839514797889-π/2
    1.69767902959578-1.57079632675     		φ = 0.12688270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27525368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.770874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12688270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.269843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35639 KachelY 31441 0.27525368 0.12688270 15.770874 7.269843
    Oben rechts KachelX + 1 35640 KachelY 31441 0.27534955 0.12688270 15.776367 7.269843
    Unten links KachelX 35639 KachelY + 1 31442 0.27525368 0.12678760 15.770874 7.264394
    Unten rechts KachelX + 1 35640 KachelY + 1 31442 0.27534955 0.12678760 15.776367 7.264394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12688270-0.12678760) × R
    9.50999999999869e-05 × 6371000     		dl = 605.882099999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12688270-0.12678760) × R
    9.50999999999869e-05 × 6371000     		dr = 605.882099999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27525368-0.27534955) × cos(0.12688270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991961183796241 × 6371000     		do = 605.877759377453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27525368-0.27534955) × cos(0.12678760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991973213504399 × 6371000     		du = 605.885106976073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12688270)-sin(0.12678760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991961183796241-0.991973213504399)×R²
    abs(0.27534955-0.27525368)×1.20297081583898e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20297081583898e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20297081583898e-05×40589641000000     		ar = 367092.715360748m²