Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35638 / 31443
↖ ↑ ↗
← N  7.258945°
E 15.765381°		 ← 605.96 m → N  7.258945°
E 15.770874°		 →
↑
605.88 m
↓
↑
605.88 m
↓
N  7.253496°
E 15.765381°		 ← 605.96 m →
367 140 m²		 N  7.253496°
E 15.770874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543800354003906 y=0.479789733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543800354003906 × 216)
    floor (0.543800354003906 × 65536)
    floor (35638.5)     		tx = 35638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479789733886719 × 216)
    floor (0.479789733886719 × 65536)
    floor (31443.5)     		ty = 31443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35638 / 31443 ti = "16/35638/31443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35638/31443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35638 ÷ 216
    35638 ÷ 65536     		x = 0.543792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31443 ÷ 216
    31443 ÷ 65536     		y = 0.479782104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543792724609375 × 2 - 1) × π
    0.08758544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27515780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479782104492188 × 2 - 1) × π
    0.040435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.127032783993149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27515780} λ = 0.27515780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.127032783993149))-π/2
    2×atan(1.13545424189539)-π/2
    2×0.848744410557297-π/2
    1.69748882111459-1.57079632675     		φ = 0.12669249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27515780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.765381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12669249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.258945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35638 KachelY 31443 0.27515780 0.12669249 15.765381 7.258945
    Oben rechts KachelX + 1 35639 KachelY 31443 0.27525368 0.12669249 15.770874 7.258945
    Unten links KachelX 35638 KachelY + 1 31444 0.27515780 0.12659739 15.765381 7.253496
    Unten rechts KachelX + 1 35639 KachelY + 1 31444 0.27525368 0.12659739 15.770874 7.253496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12669249-0.12659739) × R
    9.50999999999869e-05 × 6371000     		dl = 605.882099999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12669249-0.12659739) × R
    9.50999999999869e-05 × 6371000     		dr = 605.882099999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27515780-0.27525368) × cos(0.12669249) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99198523550468 × 6371000     		do = 605.955649246136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27515780-0.27525368) × cos(0.12659739) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.991997247268955 × 6371000     		du = 605.962986650121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12669249)-sin(0.12659739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99198523550468-0.991997247268955)×R²
    abs(0.27525368-0.27515780)×1.20117642748996e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.20117642748996e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.20117642748996e-05×40589641000000     		ar = 367139.904349715m²