Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35637 / 31442
↖ ↑ ↗
← N  7.264394°
E 15.759888°		 ← 605.89 m → N  7.264394°
E 15.765381°		 →
↑
605.95 m
↓
↑
605.95 m
↓
N  7.258945°
E 15.759888°		 ← 605.89 m →
367 136 m²		 N  7.258945°
E 15.765381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543785095214844 y=0.479774475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543785095214844 × 216)
    floor (0.543785095214844 × 65536)
    floor (35637.5)     		tx = 35637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479774475097656 × 216)
    floor (0.479774475097656 × 65536)
    floor (31442.5)     		ty = 31442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35637 / 31442 ti = "16/35637/31442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35637/31442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35637 ÷ 216
    35637 ÷ 65536     		x = 0.543777465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31442 ÷ 216
    31442 ÷ 65536     		y = 0.479766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543777465820312 × 2 - 1) × π
    0.087554931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27506193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479766845703125 × 2 - 1) × π
    0.04046630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.127128657792389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27506193} λ = 0.27506193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.127128657792389))-π/2
    2×atan(1.13556310742602)-π/2
    2×0.848791962965832-π/2
    1.69758392593166-1.57079632675     		φ = 0.12678760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27506193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.759888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12678760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.264394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35637 KachelY 31442 0.27506193 0.12678760 15.759888 7.264394
    Oben rechts KachelX + 1 35638 KachelY 31442 0.27515780 0.12678760 15.765381 7.264394
    Unten links KachelX 35637 KachelY + 1 31443 0.27506193 0.12669249 15.759888 7.258945
    Unten rechts KachelX + 1 35638 KachelY + 1 31443 0.27515780 0.12669249 15.765381 7.258945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12678760-0.12669249) × R
    9.51100000000094e-05 × 6371000     		dl = 605.94581000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12678760-0.12669249) × R
    9.51100000000094e-05 × 6371000     		dr = 605.94581000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27506193-0.27515780) × cos(0.12678760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991973213504399 × 6371000     		do = 605.885106976073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27506193-0.27515780) × cos(0.12669249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99198523550468 × 6371000     		du = 605.892449866815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12678760)-sin(0.12669249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991973213504399-0.99198523550468)×R²
    abs(0.27515780-0.27506193)×1.20220002812754e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20220002812754e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20220002812754e-05×40589641000000     		ar = 367135.76688723m²