Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35635 / 31347
↖ ↑ ↗
← N  7.781751°
E 15.748901°		 ← 605.23 m → N  7.781751°
E 15.754395°		 →
↑
605.18 m
↓
↑
605.18 m
↓
N  7.776309°
E 15.748901°		 ← 605.23 m →
366 274 m²		 N  7.776309°
E 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543754577636719 y=0.478324890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543754577636719 × 216)
    floor (0.543754577636719 × 65536)
    floor (35635.5)     		tx = 35635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478324890136719 × 216)
    floor (0.478324890136719 × 65536)
    floor (31347.5)     		ty = 31347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35635 / 31347 ti = "16/35635/31347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35635/31347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35635 ÷ 216
    35635 ÷ 65536     		x = 0.543746948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31347 ÷ 216
    31347 ÷ 65536     		y = 0.478317260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543746948242188 × 2 - 1) × π
    0.087493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27487018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478317260742188 × 2 - 1) × π
    0.043365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.1362366687202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27487018} λ = 0.27487018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.1362366687202))-π/2
    2×atan(1.14595307275092)-π/2
    2×0.853306752674072-π/2
    1.70661350534814-1.57079632675     		φ = 0.13581718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27487018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.748901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13581718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.781751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35635 KachelY 31347 0.27487018 0.13581718 15.748901 7.781751
    Oben rechts KachelX + 1 35636 KachelY 31347 0.27496606 0.13581718 15.754395 7.781751
    Unten links KachelX 35635 KachelY + 1 31348 0.27487018 0.13572219 15.748901 7.776309
    Unten rechts KachelX + 1 35636 KachelY + 1 31348 0.27496606 0.13572219 15.754395 7.776309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13581718-0.13572219) × R
    9.4990000000017e-05 × 6371000     		dl = 605.181290000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13581718-0.13572219) × R
    9.4990000000017e-05 × 6371000     		dr = 605.181290000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27487018-0.27496606) × cos(0.13581718) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990791015852851 × 6371000     		do = 605.226158404371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27487018-0.27496606) × cos(0.13572219) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990803873029848 × 6371000     		du = 605.234012229968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13581718)-sin(0.13572219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990791015852851-0.990803873029848)×R²
    abs(0.27496606-0.27487018)×1.28571769965058e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.28571769965058e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.28571769965058e-05×40589641000000     		ar = 366273.924054498m²