Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35634 / 31438
↖ ↑ ↗
← N  7.286190°
E 15.743408°		 ← 605.86 m → N  7.286190°
E 15.748901°		 →
↑
605.88 m
↓
↑
605.88 m
↓
N  7.280741°
E 15.743408°		 ← 605.86 m →
367 079 m²		 N  7.280741°
E 15.748901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543739318847656 y=0.479713439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543739318847656 × 216)
    floor (0.543739318847656 × 65536)
    floor (35634.5)     		tx = 35634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479713439941406 × 216)
    floor (0.479713439941406 × 65536)
    floor (31438.5)     		ty = 31438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35634 / 31438 ti = "16/35634/31438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35634/31438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35634 ÷ 216
    35634 ÷ 65536     		x = 0.543731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31438 ÷ 216
    31438 ÷ 65536     		y = 0.479705810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543731689453125 × 2 - 1) × π
    0.08746337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27477431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479705810546875 × 2 - 1) × π
    0.04058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.127512152989349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27477431} λ = 0.27477431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.127512152989349))-π/2
    2×atan(1.13599867393706)-π/2
    2×0.848982166830965-π/2
    1.69796433366193-1.57079632675     		φ = 0.12716801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27477431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.743408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12716801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.286190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35634 KachelY 31438 0.27477431 0.12716801 15.743408 7.286190
    Oben rechts KachelX + 1 35635 KachelY 31438 0.27487018 0.12716801 15.748901 7.286190
    Unten links KachelX 35634 KachelY + 1 31439 0.27477431 0.12707291 15.743408 7.280741
    Unten rechts KachelX + 1 35635 KachelY + 1 31439 0.27487018 0.12707291 15.748901 7.280741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12716801-0.12707291) × R
    9.50999999999869e-05 × 6371000     		dl = 605.882099999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12716801-0.12707291) × R
    9.50999999999869e-05 × 6371000     		dr = 605.882099999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27477431-0.27487018) × cos(0.12716801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991925039576105 × 6371000     		do = 605.855682929837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27477431-0.27487018) × cos(0.12707291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9919370961988 × 6371000     		du = 605.863046967527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12716801)-sin(0.12707291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991925039576105-0.9919370961988)×R²
    abs(0.27487018-0.27477431)×1.20566226955443e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20566226955443e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20566226955443e-05×40589641000000     		ar = 367079.344616304m²