Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35633 / 31348
↖ ↑ ↗
← N  7.776309°
E 15.737915°		 ← 605.23 m → N  7.776309°
E 15.743408°		 →
↑
605.24 m
↓
↑
605.24 m
↓
N  7.770866°
E 15.737915°		 ← 605.24 m →
366 317 m²		 N  7.770866°
E 15.743408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543724060058594 y=0.478340148925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543724060058594 × 216)
    floor (0.543724060058594 × 65536)
    floor (35633.5)     		tx = 35633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478340148925781 × 216)
    floor (0.478340148925781 × 65536)
    floor (31348.5)     		ty = 31348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35633 / 31348 ti = "16/35633/31348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35633/31348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35633 ÷ 216
    35633 ÷ 65536     		x = 0.543716430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31348 ÷ 216
    31348 ÷ 65536     		y = 0.47833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543716430664062 × 2 - 1) × π
    0.087432861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27467843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47833251953125 × 2 - 1) × π
    0.0433349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.136140794920959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27467843} λ = 0.27467843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.136140794920959))-π/2
    2×atan(1.14584321114259)-π/2
    2×0.853259256916385-π/2
    1.70651851383277-1.57079632675     		φ = 0.13572219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27467843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.737915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13572219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.776309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35633 KachelY 31348 0.27467843 0.13572219 15.737915 7.776309
    Oben rechts KachelX + 1 35634 KachelY 31348 0.27477431 0.13572219 15.743408 7.776309
    Unten links KachelX 35633 KachelY + 1 31349 0.27467843 0.13562719 15.737915 7.770866
    Unten rechts KachelX + 1 35634 KachelY + 1 31349 0.27477431 0.13562719 15.743408 7.770866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13572219-0.13562719) × R
    9.4999999999984e-05 × 6371000     		dl = 605.244999999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13572219-0.13562719) × R
    9.4999999999984e-05 × 6371000     		dr = 605.244999999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27467843-0.27477431) × cos(0.13572219) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.990803873029848 × 6371000     		do = 605.234012230318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27467843-0.27477431) × cos(0.13562719) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.990816722618839 × 6371000     		du = 605.241861420771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13572219)-sin(0.13562719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990803873029848-0.990816722618839)×R²
    abs(0.27477431-0.27467843)×1.28495889917257e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.28495889917257e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.28495889917257e-05×40589641000000     		ar = 366317.235349401m²