Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35633 / 104212
↖ ↑ ↗
← S 72.198605°
W 82.131043°		 ← 93.37 m → S 72.198605°
W 82.128296°		 →
↑
93.34 m
↓
↑
93.34 m
↓
S 72.199444°
W 82.131043°		 ← 93.37 m →
8 715 m²		 S 72.199444°
W 82.128296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271862030029297 y=0.795078277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271862030029297 × 217)
    floor (0.271862030029297 × 131072)
    floor (35633.5)     		tx = 35633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795078277587891 × 217)
    floor (0.795078277587891 × 131072)
    floor (104212.5)     		ty = 104212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35633 / 104212 ti = "17/35633/104212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35633/104212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35633 ÷ 217
    35633 ÷ 131072     		x = 0.271858215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104212 ÷ 217
    104212 ÷ 131072     		y = 0.795074462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271858215332031 × 2 - 1) × π
    -0.456283569335938 × 3.1415926535     		Λ = -1.43345711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.59014892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85400752970529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43345711} λ = -1.43345711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85400752970529))-π/2
    2×atan(0.156608294651438)-π/2
    2×0.155346478490877-π/2
    0.310692956981753-1.57079632675     		φ = -1.26010337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43345711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.131043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26010337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.198605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35633 KachelY 104212 -1.43345711 -1.26010337 -82.131043 -72.198605
    Oben rechts KachelX + 1 35634 KachelY 104212 -1.43340917 -1.26010337 -82.128296 -72.198605
    Unten links KachelX 35633 KachelY + 1 104213 -1.43345711 -1.26011802 -82.131043 -72.199444
    Unten rechts KachelX + 1 35634 KachelY + 1 104213 -1.43340917 -1.26011802 -82.128296 -72.199444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26010337--1.26011802) × R
    1.46500000000049e-05 × 6371000     		dl = 93.3351500000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26010337--1.26011802) × R
    1.46500000000049e-05 × 6371000     		dr = 93.3351500000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43345711--1.43340917) × cos(-1.26010337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.305718489165973 × 6371000     		do = 93.3742957851381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43345711--1.43340917) × cos(-1.26011802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.305704540546617 × 6371000     		du = 93.3700355177491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26010337)-sin(-1.26011802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305718489165973-0.305704540546617)×R²
    abs(-1.43340917--1.43345711)×1.39486193564409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39486193564409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39486193564409e-05×40589641000000     		ar = 8714.90508698495m²