Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35632 / 47919
↖ ↑ ↗
← S 63.663324°
E 15.732422°		 ← 270.97 m → S 63.663324°
E 15.737915°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
S 63.665760°
E 15.732422°		 ← 270.95 m →
73 419 m²		 S 63.665760°
E 15.737915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543708801269531 y=0.731193542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543708801269531 × 216)
    floor (0.543708801269531 × 65536)
    floor (35632.5)     		tx = 35632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731193542480469 × 216)
    floor (0.731193542480469 × 65536)
    floor (47919.5)     		ty = 47919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35632 / 47919 ti = "16/35632/47919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35632/47919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35632 ÷ 216
    35632 ÷ 65536     		x = 0.543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47919 ÷ 216
    47919 ÷ 65536     		y = 0.731185913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543701171875 × 2 - 1) × π
    0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731185913085938 × 2 - 1) × π
    -0.462371826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45258393228694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27458256} λ = 0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45258393228694))-π/2
    2×atan(0.233964956757229)-π/2
    2×0.229830860117172-π/2
    0.459661720234345-1.57079632675     		φ = -1.11113461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11113461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.663324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35632 KachelY 47919 0.27458256 -1.11113461 15.732422 -63.663324
    Oben rechts KachelX + 1 35633 KachelY 47919 0.27467843 -1.11113461 15.737915 -63.663324
    Unten links KachelX 35632 KachelY + 1 47920 0.27458256 -1.11117714 15.732422 -63.665760
    Unten rechts KachelX + 1 35633 KachelY + 1 47920 0.27467843 -1.11117714 15.737915 -63.665760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11113461--1.11117714) × R
    4.25299999999851e-05 × 6371000     		dl = 270.958629999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11113461--1.11117714) × R
    4.25299999999851e-05 × 6371000     		dr = 270.958629999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27458256-0.27467843) × cos(-1.11113461) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44364496205878 × 6371000     		do = 270.972917047611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27458256-0.27467843) × cos(-1.11117714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443606846159856 × 6371000     		du = 270.949636322706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11113461)-sin(-1.11117714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44364496205878-0.443606846159856)×R²
    abs(0.27467843-0.27458256)×3.8115898923774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8115898923774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8115898923774e-05×40589641000000     		ar = 73419.2963246049m²