Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35632 / 31349
↖ ↑ ↗
← N  7.770866°
E 15.732422°		 ← 605.18 m → N  7.770866°
E 15.737915°		 →
↑
605.18 m
↓
↑
605.18 m
↓
N  7.765423°
E 15.732422°		 ← 605.19 m →
366 245 m²		 N  7.765423°
E 15.737915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543708801269531 y=0.478355407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543708801269531 × 216)
    floor (0.543708801269531 × 65536)
    floor (35632.5)     		tx = 35632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478355407714844 × 216)
    floor (0.478355407714844 × 65536)
    floor (31349.5)     		ty = 31349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35632 / 31349 ti = "16/35632/31349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35632/31349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35632 ÷ 216
    35632 ÷ 65536     		x = 0.543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31349 ÷ 216
    31349 ÷ 65536     		y = 0.478347778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543701171875 × 2 - 1) × π
    0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478347778320312 × 2 - 1) × π
    0.043304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.136044921121719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27458256} λ = 0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.136044921121719))-π/2
    2×atan(1.14573336006661)-π/2
    2×0.853211760542565-π/2
    1.70642352108513-1.57079632675     		φ = 0.13562719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13562719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.770866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35632 KachelY 31349 0.27458256 0.13562719 15.732422 7.770866
    Oben rechts KachelX + 1 35633 KachelY 31349 0.27467843 0.13562719 15.737915 7.770866
    Unten links KachelX 35632 KachelY + 1 31350 0.27458256 0.13553220 15.732422 7.765423
    Unten rechts KachelX + 1 35633 KachelY + 1 31350 0.27467843 0.13553220 15.737915 7.765423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13562719-0.13553220) × R
    9.4990000000017e-05 × 6371000     		dl = 605.181290000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13562719-0.13553220) × R
    9.4990000000017e-05 × 6371000     		dr = 605.181290000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27458256-0.27467843) × cos(0.13562719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990816722618839 × 6371000     		do = 605.178736487056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27458256-0.27467843) × cos(0.13553220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990829561914534 × 6371000     		du = 605.186578571842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13562719)-sin(0.13553220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990816722618839-0.990829561914534)×R²
    abs(0.27467843-0.27458256)×1.28392956944001e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.28392956944001e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.28392956944001e-05×40589641000000     		ar = 366245.221644714m²