Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35630 / 47922
↖ ↑ ↗
← S 63.670633°
E 15.721435°		 ← 270.93 m → S 63.670633°
E 15.726929°		 →
↑
270.89 m
↓
↑
270.89 m
↓
S 63.673070°
E 15.721435°		 ← 270.91 m →
73 391 m²		 S 63.673070°
E 15.726929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543678283691406 y=0.731239318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543678283691406 × 216)
    floor (0.543678283691406 × 65536)
    floor (35630.5)     		tx = 35630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731239318847656 × 216)
    floor (0.731239318847656 × 65536)
    floor (47922.5)     		ty = 47922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35630 / 47922 ti = "16/35630/47922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35630/47922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35630 ÷ 216
    35630 ÷ 65536     		x = 0.543670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47922 ÷ 216
    47922 ÷ 65536     		y = 0.731231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543670654296875 × 2 - 1) × π
    0.08734130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27439081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731231689453125 × 2 - 1) × π
    -0.46246337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45287155368466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27439081} λ = 0.27439081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45287155368466))-π/2
    2×atan(0.233897673105922)-π/2
    2×0.22976706744704-π/2
    0.45953413489408-1.57079632675     		φ = -1.11126219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27439081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.721435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11126219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.670633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35630 KachelY 47922 0.27439081 -1.11126219 15.721435 -63.670633
    Oben rechts KachelX + 1 35631 KachelY 47922 0.27448669 -1.11126219 15.726929 -63.670633
    Unten links KachelX 35630 KachelY + 1 47923 0.27439081 -1.11130471 15.721435 -63.673070
    Unten rechts KachelX + 1 35631 KachelY + 1 47923 0.27448669 -1.11130471 15.726929 -63.673070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11126219--1.11130471) × R
    4.25200000000459e-05 × 6371000     		dl = 270.894920000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11126219--1.11130471) × R
    4.25200000000459e-05 × 6371000     		dr = 270.894920000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27439081-0.27448669) × cos(-1.11126219) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44353062091748 × 6371000     		do = 270.931336212741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27439081-0.27448669) × cos(-1.11130471) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.443492511574543 × 6371000     		du = 270.908057064206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11126219)-sin(-1.11130471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44353062091748-0.443492511574543)×R²
    abs(0.27448669-0.27439081)×3.81093429369095e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81093429369095e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81093429369095e-05×40589641000000     		ar = 73390.7695581991m²