Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35628 / 104220
↖ ↑ ↗
← S 72.205321°
W 82.144775°		 ← 93.32 m → S 72.205321°
W 82.142029°		 →
↑
93.34 m
↓
↑
93.34 m
↓
S 72.206160°
W 82.144775°		 ← 93.32 m →
8 710 m²		 S 72.206160°
W 82.142029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271823883056641 y=0.795139312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271823883056641 × 217)
    floor (0.271823883056641 × 131072)
    floor (35628.5)     		tx = 35628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795139312744141 × 217)
    floor (0.795139312744141 × 131072)
    floor (104220.5)     		ty = 104220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35628 / 104220 ti = "17/35628/104220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35628/104220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35628 ÷ 217
    35628 ÷ 131072     		x = 0.271820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104220 ÷ 217
    104220 ÷ 131072     		y = 0.795135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271820068359375 × 2 - 1) × π
    -0.45635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43369679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.59027099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85439102490225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43369679} λ = -1.43369679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85439102490225))-π/2
    2×atan(0.156548247637242)-π/2
    2×0.155287868405792-π/2
    0.310575736811585-1.57079632675     		φ = -1.26022059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43369679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.144775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26022059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.205321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35628 KachelY 104220 -1.43369679 -1.26022059 -82.144775 -72.205321
    Oben rechts KachelX + 1 35629 KachelY 104220 -1.43364886 -1.26022059 -82.142029 -72.205321
    Unten links KachelX 35628 KachelY + 1 104221 -1.43369679 -1.26023524 -82.144775 -72.206160
    Unten rechts KachelX + 1 35629 KachelY + 1 104221 -1.43364886 -1.26023524 -82.142029 -72.206160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26022059--1.26023524) × R
    1.46500000000049e-05 × 6371000     		dl = 93.3351500000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26022059--1.26023524) × R
    1.46500000000049e-05 × 6371000     		dr = 93.3351500000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43369679--1.43364886) × cos(-1.26022059) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.305606879331024 × 6371000     		do = 93.3207370545435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43369679--1.43364886) × cos(-1.26023524) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.305592930186773 × 6371000     		du = 93.3164775155384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26022059)-sin(-1.26023524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305606879331024-0.305592930186773)×R²
    abs(-1.43364886--1.43369679)×1.39491442507356e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.39491442507356e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.39491442507356e-05×40589641000000     		ar = 8709.90620898633m²