Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35627 / 47992
↖ ↑ ↗
← S 63.840668°
E 15.704956°		 ← 269.31 m → S 63.840668°
E 15.710449°		 →
↑
269.30 m
↓
↑
269.30 m
↓
S 63.843090°
E 15.704956°		 ← 269.28 m →
72 521 m²		 S 63.843090°
E 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543632507324219 y=0.732307434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543632507324219 × 216)
    floor (0.543632507324219 × 65536)
    floor (35627.5)     		tx = 35627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732307434082031 × 216)
    floor (0.732307434082031 × 65536)
    floor (47992.5)     		ty = 47992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35627 / 47992 ti = "16/35627/47992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35627/47992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35627 ÷ 216
    35627 ÷ 65536     		x = 0.543624877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47992 ÷ 216
    47992 ÷ 65536     		y = 0.7322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543624877929688 × 2 - 1) × π
    0.087249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27410319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45958271963147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27410319} λ = 0.27410319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45958271963147))-π/2
    2×atan(0.232333202589704)-π/2
    2×0.228283232905713-π/2
    0.456566465811426-1.57079632675     		φ = -1.11422986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27410319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.704956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11422986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.840668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35627 KachelY 47992 0.27410319 -1.11422986 15.704956 -63.840668
    Oben rechts KachelX + 1 35628 KachelY 47992 0.27419907 -1.11422986 15.710449 -63.840668
    Unten links KachelX 35627 KachelY + 1 47993 0.27410319 -1.11427213 15.704956 -63.843090
    Unten rechts KachelX + 1 35628 KachelY + 1 47993 0.27419907 -1.11427213 15.710449 -63.843090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11422986--1.11427213) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dl = 269.30217000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11422986--1.11427213) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dr = 269.30217000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27410319-0.27419907) × cos(-1.11422986) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.440868870123979 × 6371000     		do = 269.30540180114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27410319-0.27419907) × cos(-1.11427213) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.440830929381841 × 6371000     		du = 269.282225642652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11422986)-sin(-1.11427213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440868870123979-0.440830929381841)×R²
    abs(0.27419907-0.27410319)×3.79407421384759e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.79407421384759e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.79407421384759e-05×40589641000000     		ar = 72521.4084136007m²