Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35622 / 31333
↖ ↑ ↗
← N  7.857940°
E 15.677490°		 ← 605.12 m → N  7.857940°
E 15.682984°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
N  7.852499°
E 15.677490°		 ← 605.12 m →
366 130 m²		 N  7.852499°
E 15.682984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543556213378906 y=0.478111267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543556213378906 × 216)
    floor (0.543556213378906 × 65536)
    floor (35622.5)     		tx = 35622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478111267089844 × 216)
    floor (0.478111267089844 × 65536)
    floor (31333.5)     		ty = 31333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35622 / 31333 ti = "16/35622/31333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35622/31333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35622 ÷ 216
    35622 ÷ 65536     		x = 0.543548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31333 ÷ 216
    31333 ÷ 65536     		y = 0.478103637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543548583984375 × 2 - 1) × π
    0.08709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27362382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478103637695312 × 2 - 1) × π
    0.043792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.137578901909561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27362382} λ = 0.27362382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137578901909561))-π/2
    2×atan(1.14749224172938)-π/2
    2×0.853971628352287-π/2
    1.70794325670457-1.57079632675     		φ = 0.13714693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27362382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.677490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13714693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.857940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35622 KachelY 31333 0.27362382 0.13714693 15.677490 7.857940
    Oben rechts KachelX + 1 35623 KachelY 31333 0.27371970 0.13714693 15.682984 7.857940
    Unten links KachelX 35622 KachelY + 1 31334 0.27362382 0.13705196 15.677490 7.852499
    Unten rechts KachelX + 1 35623 KachelY + 1 31334 0.27371970 0.13705196 15.682984 7.852499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13714693-0.13705196) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13714693-0.13705196) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27362382-0.27371970) × cos(0.13714693) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990610091766068 × 6371000     		do = 605.115640658192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27362382-0.27371970) × cos(0.13705196) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990623071349745 × 6371000     		du = 605.123569256091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13714693)-sin(0.13705196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990610091766068-0.990623071349745)×R²
    abs(0.27371970-0.27362382)×1.29795836768531e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.29795836768531e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.29795836768531e-05×40589641000000     		ar = 366129.959067427m²