Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35621 / 31356
↖ ↑ ↗
← N  7.732765°
E 15.671997°		 ← 605.23 m → N  7.732765°
E 15.677490°		 →
↑
605.25 m
↓
↑
605.25 m
↓
N  7.727322°
E 15.671997°		 ← 605.24 m →
366 317 m²		 N  7.727322°
E 15.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543540954589844 y=0.478462219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543540954589844 × 216)
    floor (0.543540954589844 × 65536)
    floor (35621.5)     		tx = 35621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478462219238281 × 216)
    floor (0.478462219238281 × 65536)
    floor (31356.5)     		ty = 31356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35621 / 31356 ti = "16/35621/31356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35621/31356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35621 ÷ 216
    35621 ÷ 65536     		x = 0.543533325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31356 ÷ 216
    31356 ÷ 65536     		y = 0.47845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543533325195312 × 2 - 1) × π
    0.087066650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27352795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47845458984375 × 2 - 1) × π
    0.0430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.135373804527039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27352795} λ = 0.27352795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.135373804527039))-π/2
    2×atan(1.14496469735559)-π/2
    2×0.852879268709442-π/2
    1.70575853741888-1.57079632675     		φ = 0.13496221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27352795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.671997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13496221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.732765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35621 KachelY 31356 0.27352795 0.13496221 15.671997 7.732765
    Oben rechts KachelX + 1 35622 KachelY 31356 0.27362382 0.13496221 15.677490 7.732765
    Unten links KachelX 35621 KachelY + 1 31357 0.27352795 0.13486721 15.671997 7.727322
    Unten rechts KachelX + 1 35622 KachelY + 1 31357 0.27362382 0.13486721 15.677490 7.727322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13496221-0.13486721) × R
    9.50000000000117e-05 × 6371000     		dl = 605.245000000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13496221-0.13486721) × R
    9.50000000000117e-05 × 6371000     		dr = 605.245000000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27352795-0.27362382) × cos(0.13496221) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990906416664854 × 6371000     		do = 605.233520513404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27352795-0.27362382) × cos(0.13486721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990919194715521 × 6371000     		du = 605.241325190476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13496221)-sin(0.13486721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990906416664854-0.990919194715521)×R²
    abs(0.27362382-0.27352795)×1.27780506669062e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27780506669062e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27780506669062e-05×40589641000000     		ar = 366316.92426956m²