Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3562 / 562
↖ ↑ ↗
← N 78.313860°
E133.066406°		 ← 1 979.52 m → N 78.313860°
E133.154297°		 →
↑
1 981 m
↓
↑
1 981 m
↓
N 78.296044°
E133.066406°		 ← 1 982.50 m →
3 924 379 m²		 N 78.296044°
E133.154297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8697509765625 y=0.1373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8697509765625 × 212)
    floor (0.8697509765625 × 4096)
    floor (3562.5)     		tx = 3562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1373291015625 × 212)
    floor (0.1373291015625 × 4096)
    floor (562.5)     		ty = 562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3562 / 562 ti = "12/3562/562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3562/562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3562 ÷ 212
    3562 ÷ 4096     		x = 0.86962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 562 ÷ 212
    562 ÷ 4096     		y = 0.13720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86962890625 × 2 - 1) × π
    0.7392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32244691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13720703125 × 2 - 1) × π
    0.7255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27949545073291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32244691} λ = 2.32244691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27949545073291))-π/2
    2×atan(9.77174883680903)-π/2
    2×1.46881551300168-π/2
    2.93763102600337-1.57079632675     		φ = 1.36683470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32244691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36683470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.313860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3562 KachelY 562 2.32244691 1.36683470 133.066406 78.313860
    Oben rechts KachelX + 1 3563 KachelY 562 2.32398089 1.36683470 133.154297 78.313860
    Unten links KachelX 3562 KachelY + 1 563 2.32244691 1.36652376 133.066406 78.296044
    Unten rechts KachelX + 1 3563 KachelY + 1 563 2.32398089 1.36652376 133.154297 78.296044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36683470-1.36652376) × R
    0.000310940000000093 × 6371000     		dl = 1980.99874000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36683470-1.36652376) × R
    0.000310940000000093 × 6371000     		dr = 1980.99874000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32244691-2.32398089) × cos(1.36683470) × R
    0.00153398000000005 × 0.202550419650011 × 6371000     		do = 1979.52253301299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32244691-2.32398089) × cos(1.36652376) × R
    0.00153398000000005 × 0.202854904637927 × 6371000     		du = 1982.4982607137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36683470)-sin(1.36652376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202550419650011-0.202854904637927)×R²
    abs(2.32398089-2.32244691)×0.000304484987915327×R²
    0.00153398000000005×0.000304484987915327×6371000²
    0.00153398000000005×0.000304484987915327×40589641000000     		ar = 3924379.1317353m²