Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3562 / 2802
↖ ↑ ↗
← N 49.325122°
W 23.466797°		 ← 3 184.85 m → N 49.325122°
W 23.422852°		 →
↑
3 185.75 m
↓
↑
3 185.75 m
↓
N 49.296472°
W 23.466797°		 ← 3 186.70 m →
10 149 102 m²		 N 49.296472°
W 23.422852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43487548828125 y=0.34210205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43487548828125 × 213)
    floor (0.43487548828125 × 8192)
    floor (3562.5)     		tx = 3562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34210205078125 × 213)
    floor (0.34210205078125 × 8192)
    floor (2802.5)     		ty = 2802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3562 / 2802 ti = "13/3562/2802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3562/2802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3562 ÷ 213
    3562 ÷ 8192     		x = 0.434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2802 ÷ 213
    2802 ÷ 8192     		y = 0.342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342041015625 × 2 - 1) × π
    0.31591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.992485569733643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40957287} λ = -0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992485569733643))-π/2
    2×atan(2.69793204349177)-π/2
    2×1.21584105473396-π/2
    2.43168210946792-1.57079632675     		φ = 0.86088578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86088578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.325122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3562 KachelY 2802 -0.40957287 0.86088578 -23.466797 49.325122
    Oben rechts KachelX + 1 3563 KachelY 2802 -0.40880588 0.86088578 -23.422852 49.325122
    Unten links KachelX 3562 KachelY + 1 2803 -0.40957287 0.86038574 -23.466797 49.296472
    Unten rechts KachelX + 1 3563 KachelY + 1 2803 -0.40880588 0.86038574 -23.422852 49.296472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86088578-0.86038574) × R
    0.000500040000000035 × 6371000     		dl = 3185.75484000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86088578-0.86038574) × R
    0.000500040000000035 × 6371000     		dr = 3185.75484000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40957287--0.40880588) × cos(0.86088578) × R
    0.000766989999999967 × 0.651765930513245 × 6371000     		do = 3184.84984610344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40957287--0.40880588) × cos(0.86038574) × R
    0.000766989999999967 × 0.652145089441261 × 6371000     		du = 3186.70260366104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86088578)-sin(0.86038574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651765930513245-0.652145089441261)×R²
    abs(-0.40880588--0.40957287)×0.000379158928015766×R²
    0.000766989999999967×0.000379158928015766×6371000²
    0.000766989999999967×0.000379158928015766×40589641000000     		ar = 10149102.2390474m²