Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3562 / 1820
↖ ↑ ↗
← N 70.199994°
W 23.466797°		 ← 1 655.24 m → N 70.199994°
W 23.422852°		 →
↑
1 655.82 m
↓
↑
1 655.82 m
↓
N 70.185103°
W 23.466797°		 ← 1 656.44 m →
2 741 775 m²		 N 70.185103°
W 23.422852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43487548828125 y=0.22222900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43487548828125 × 213)
    floor (0.43487548828125 × 8192)
    floor (3562.5)     		tx = 3562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22222900390625 × 213)
    floor (0.22222900390625 × 8192)
    floor (1820.5)     		ty = 1820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3562 / 1820 ti = "13/3562/1820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3562/1820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3562 ÷ 213
    3562 ÷ 8192     		x = 0.434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1820 ÷ 213
    1820 ÷ 8192     		y = 0.22216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22216796875 × 2 - 1) × π
    0.5556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74567013656396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40957287} λ = -0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74567013656396))-π/2
    2×atan(5.72973989735144)-π/2
    2×1.39800867913665-π/2
    2.79601735827331-1.57079632675     		φ = 1.22522103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22522103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.199994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3562 KachelY 1820 -0.40957287 1.22522103 -23.466797 70.199994
    Oben rechts KachelX + 1 3563 KachelY 1820 -0.40880588 1.22522103 -23.422852 70.199994
    Unten links KachelX 3562 KachelY + 1 1821 -0.40957287 1.22496113 -23.466797 70.185103
    Unten rechts KachelX + 1 3563 KachelY + 1 1821 -0.40880588 1.22496113 -23.422852 70.185103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22522103-1.22496113) × R
    0.000259899999999869 × 6371000     		dl = 1655.82289999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22522103-1.22496113) × R
    0.000259899999999869 × 6371000     		dr = 1655.82289999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40957287--0.40880588) × cos(1.22522103) × R
    0.000766989999999967 × 0.3387380189437 × 6371000     		do = 1655.24105663622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40957287--0.40880588) × cos(1.22496113) × R
    0.000766989999999967 × 0.338982542403024 × 6371000     		du = 1656.43591887945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22522103)-sin(1.22496113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3387380189437-0.338982542403024)×R²
    abs(-0.40880588--0.40957287)×0.000244523459323409×R²
    0.000766989999999967×0.000244523459323409×6371000²
    0.000766989999999967×0.000244523459323409×40589641000000     		ar = 2741775.30216234m²