Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35619 / 47969
↖ ↑ ↗
← S 63.784913°
E 15.661011°		 ← 269.84 m → S 63.784913°
E 15.666504°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
S 63.787339°
E 15.661011°		 ← 269.82 m →
72 803 m²		 S 63.787339°
E 15.666504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543510437011719 y=0.731956481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543510437011719 × 216)
    floor (0.543510437011719 × 65536)
    floor (35619.5)     		tx = 35619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731956481933594 × 216)
    floor (0.731956481933594 × 65536)
    floor (47969.5)     		ty = 47969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35619 / 47969 ti = "16/35619/47969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35619/47969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35619 ÷ 216
    35619 ÷ 65536     		x = 0.543502807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47969 ÷ 216
    47969 ÷ 65536     		y = 0.731948852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543502807617188 × 2 - 1) × π
    0.087005615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27333620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731948852539062 × 2 - 1) × π
    -0.463897705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45737762224895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27333620} λ = 0.27333620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45737762224895))-π/2
    2×atan(0.232846085196833)-π/2
    2×0.22876979357337-π/2
    0.45753958714674-1.57079632675     		φ = -1.11325674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27333620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.661011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11325674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.784913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35619 KachelY 47969 0.27333620 -1.11325674 15.661011 -63.784913
    Oben rechts KachelX + 1 35620 KachelY 47969 0.27343208 -1.11325674 15.666504 -63.784913
    Unten links KachelX 35619 KachelY + 1 47970 0.27333620 -1.11329909 15.661011 -63.787339
    Unten rechts KachelX + 1 35620 KachelY + 1 47970 0.27343208 -1.11329909 15.666504 -63.787339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11325674--1.11329909) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dl = 269.811849999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11325674--1.11329909) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dr = 269.811849999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27333620-0.27343208) × cos(-1.11325674) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.4417421060437 × 6371000     		do = 269.838819255246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27333620-0.27343208) × cos(-1.11329909) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.441704111680485 × 6371000     		du = 269.815610342245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11325674)-sin(-1.11329909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4417421060437-0.441704111680485)×R²
    abs(0.27343208-0.27333620)×3.79943632147772e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.79943632147772e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.79943632147772e-05×40589641000000     		ar = 72802.5800157394m²