Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35616 / 47968
↖ ↑ ↗
← S 63.782486°
E 15.644531°		 ← 269.83 m → S 63.782486°
E 15.650024°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
S 63.784913°
E 15.644531°		 ← 269.81 m →
72 801 m²		 S 63.784913°
E 15.650024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543464660644531 y=0.731941223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543464660644531 × 216)
    floor (0.543464660644531 × 65536)
    floor (35616.5)     		tx = 35616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731941223144531 × 216)
    floor (0.731941223144531 × 65536)
    floor (47968.5)     		ty = 47968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35616 / 47968 ti = "16/35616/47968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35616/47968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35616 ÷ 216
    35616 ÷ 65536     		x = 0.54345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47968 ÷ 216
    47968 ÷ 65536     		y = 0.73193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54345703125 × 2 - 1) × π
    0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27304858} λ = 0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45728174844971))-π/2
    2×atan(0.232868410105829)-π/2
    2×0.228790970231089-π/2
    0.457581940462178-1.57079632675     		φ = -1.11321439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11321439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.782486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35616 KachelY 47968 0.27304858 -1.11321439 15.644531 -63.782486
    Oben rechts KachelX + 1 35617 KachelY 47968 0.27314445 -1.11321439 15.650024 -63.782486
    Unten links KachelX 35616 KachelY + 1 47969 0.27304858 -1.11325674 15.644531 -63.784913
    Unten rechts KachelX + 1 35617 KachelY + 1 47969 0.27314445 -1.11325674 15.650024 -63.784913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11321439--1.11325674) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dl = 269.811849999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11321439--1.11325674) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dr = 269.811849999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27304858-0.27314445) × cos(-1.11321439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44178009961464 × 6371000     		do = 269.833881873998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27304858-0.27314445) × cos(-1.11325674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4417421060437 × 6371000     		du = 269.810675865529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11321439)-sin(-1.11325674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44178009961464-0.4417421060437)×R²
    abs(0.27314445-0.27304858)×3.799357094042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.799357094042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.799357094042e-05×40589641000000     		ar = 72801.2482442679m²