Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35615 / 31341
↖ ↑ ↗
← N  7.814405°
E 15.639038°		 ← 605.12 m → N  7.814405°
E 15.644531°		 →
↑
605.12 m
↓
↑
605.12 m
↓
N  7.808963°
E 15.639038°		 ← 605.12 m →
366 169 m²		 N  7.808963°
E 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543449401855469 y=0.478233337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543449401855469 × 216)
    floor (0.543449401855469 × 65536)
    floor (35615.5)     		tx = 35615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478233337402344 × 216)
    floor (0.478233337402344 × 65536)
    floor (31341.5)     		ty = 31341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35615 / 31341 ti = "16/35615/31341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35615/31341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35615 ÷ 216
    35615 ÷ 65536     		x = 0.543441772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31341 ÷ 216
    31341 ÷ 65536     		y = 0.478225708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543441772460938 × 2 - 1) × π
    0.086883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27295271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478225708007812 × 2 - 1) × π
    0.043548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.13681191151564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27295271} λ = 0.27295271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.13681191151564))-π/2
    2×atan(1.14661246363668)-π/2
    2×0.853591714257859-π/2
    1.70718342851572-1.57079632675     		φ = 0.13638710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27295271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.639038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13638710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.814405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35615 KachelY 31341 0.27295271 0.13638710 15.639038 7.814405
    Oben rechts KachelX + 1 35616 KachelY 31341 0.27304858 0.13638710 15.644531 7.814405
    Unten links KachelX 35615 KachelY + 1 31342 0.27295271 0.13629212 15.639038 7.808963
    Unten rechts KachelX + 1 35616 KachelY + 1 31342 0.27304858 0.13629212 15.644531 7.808963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13638710-0.13629212) × R
    9.49800000000223e-05 × 6371000     		dl = 605.117580000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13638710-0.13629212) × R
    9.49800000000223e-05 × 6371000     		dr = 605.117580000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27295271-0.27304858) × cos(0.13638710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990713687774095 × 6371000     		do = 605.115804064002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27295271-0.27304858) × cos(0.13629212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9907265972288 × 6371000     		du = 605.123689001053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13638710)-sin(0.13629212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990713687774095-0.9907265972288)×R²
    abs(0.27304858-0.27295271)×1.29094547048902e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.29094547048902e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.29094547048902e-05×40589641000000     		ar = 366168.59690738m²