Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35609 / 47895
↖ ↑ ↗
← S 63.604775°
E 15.606079°		 ← 271.56 m → S 63.604775°
E 15.611572°		 →
↑
271.53 m
↓
↑
271.53 m
↓
S 63.607217°
E 15.606079°		 ← 271.54 m →
73 734 m²		 S 63.607217°
E 15.611572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543357849121094 y=0.730827331542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543357849121094 × 216)
    floor (0.543357849121094 × 65536)
    floor (35609.5)     		tx = 35609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730827331542969 × 216)
    floor (0.730827331542969 × 65536)
    floor (47895.5)     		ty = 47895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35609 / 47895 ti = "16/35609/47895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35609/47895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35609 ÷ 216
    35609 ÷ 65536     		x = 0.543350219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47895 ÷ 216
    47895 ÷ 65536     		y = 0.730819702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543350219726562 × 2 - 1) × π
    0.086700439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27237746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730819702148438 × 2 - 1) × π
    -0.461639404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45028296110518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27237746} λ = 0.27237746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45028296110518))-π/2
    2×atan(0.234503923215619)-π/2
    2×0.230341793794664-π/2
    0.460683587589327-1.57079632675     		φ = -1.11011274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27237746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.606079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11011274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.604775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35609 KachelY 47895 0.27237746 -1.11011274 15.606079 -63.604775
    Oben rechts KachelX + 1 35610 KachelY 47895 0.27247334 -1.11011274 15.611572 -63.604775
    Unten links KachelX 35609 KachelY + 1 47896 0.27237746 -1.11015536 15.606079 -63.607217
    Unten rechts KachelX + 1 35610 KachelY + 1 47896 0.27247334 -1.11015536 15.611572 -63.607217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11011274--1.11015536) × R
    4.26200000001042e-05 × 6371000     		dl = 271.532020000664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11011274--1.11015536) × R
    4.26200000001042e-05 × 6371000     		dr = 271.532020000664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27237746-0.27247334) × cos(-1.11011274) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.444560532846205 × 6371000     		do = 271.560459438672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27237746-0.27247334) × cos(-1.11015536) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.444522355628122 × 6371000     		du = 271.537138828504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11011274)-sin(-1.11015536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444560532846205-0.444522355628122)×R²
    abs(0.27247334-0.27237746)×3.81772180829687e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81772180829687e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81772180829687e-05×40589641000000     		ar = 73734.1939684247m²