Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35609 / 104184
↖ ↑ ↗
← S 72.175079°
W 82.196960°		 ← 93.47 m → S 72.175079°
W 82.194214°		 →
↑
93.53 m
↓
↑
93.53 m
↓
S 72.175920°
W 82.196960°		 ← 93.47 m →
8 742 m²		 S 72.175920°
W 82.194214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271678924560547 y=0.794864654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271678924560547 × 217)
    floor (0.271678924560547 × 131072)
    floor (35609.5)     		tx = 35609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794864654541016 × 217)
    floor (0.794864654541016 × 131072)
    floor (104184.5)     		ty = 104184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35609 / 104184 ti = "17/35609/104184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35609/104184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35609 ÷ 217
    35609 ÷ 131072     		x = 0.271675109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104184 ÷ 217
    104184 ÷ 131072     		y = 0.79486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271675109863281 × 2 - 1) × π
    -0.456649780273438 × 3.1415926535     		Λ = -1.43460759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.5897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.85266529651593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43460759} λ = -1.43460759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85266529651593))-π/2
    2×atan(0.156818640637351)-π/2
    2×0.155551782394753-π/2
    0.311103564789505-1.57079632675     		φ = -1.25969276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43460759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.196960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25969276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.175079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35609 KachelY 104184 -1.43460759 -1.25969276 -82.196960 -72.175079
    Oben rechts KachelX + 1 35610 KachelY 104184 -1.43455966 -1.25969276 -82.194214 -72.175079
    Unten links KachelX 35609 KachelY + 1 104185 -1.43460759 -1.25970744 -82.196960 -72.175920
    Unten rechts KachelX + 1 35610 KachelY + 1 104185 -1.43455966 -1.25970744 -82.194214 -72.175920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25969276--1.25970744) × R
    1.46799999998226e-05 × 6371000     		dl = 93.5262799988699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25969276--1.25970744) × R
    1.46799999998226e-05 × 6371000     		dr = 93.5262799988699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43460759--1.43455966) × cos(-1.25969276) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.306109414176227 × 6371000     		do = 93.4741921150207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43460759--1.43455966) × cos(-1.25970744) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30609543883701 × 6371000     		du = 93.4699245770675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25969276)-sin(-1.25970744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306109414176227-0.30609543883701)×R²
    abs(-1.43455966--1.43460759)×1.39753392170427e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.39753392170427e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.39753392170427e-05×40589641000000     		ar = 8742.09390099601m²