Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35608 / 47896
↖ ↑ ↗
← S 63.607217°
E 15.600586°		 ← 271.51 m → S 63.607217°
E 15.606079°		 →
↑
271.53 m
↓
↑
271.53 m
↓
S 63.609659°
E 15.600586°		 ← 271.49 m →
73 720 m²		 S 63.609659°
E 15.606079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543342590332031 y=0.730842590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543342590332031 × 216)
    floor (0.543342590332031 × 65536)
    floor (35608.5)     		tx = 35608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730842590332031 × 216)
    floor (0.730842590332031 × 65536)
    floor (47896.5)     		ty = 47896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35608 / 47896 ti = "16/35608/47896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35608/47896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35608 ÷ 216
    35608 ÷ 65536     		x = 0.5433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47896 ÷ 216
    47896 ÷ 65536     		y = 0.7308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5433349609375 × 2 - 1) × π
    0.086669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27228159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45037883490442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27228159} λ = 0.27228159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45037883490442))-π/2
    2×atan(0.234481441511284)-π/2
    2×0.230320483856047-π/2
    0.460640967712095-1.57079632675     		φ = -1.11015536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27228159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.600586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11015536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.607217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35608 KachelY 47896 0.27228159 -1.11015536 15.600586 -63.607217
    Oben rechts KachelX + 1 35609 KachelY 47896 0.27237746 -1.11015536 15.606079 -63.607217
    Unten links KachelX 35608 KachelY + 1 47897 0.27228159 -1.11019798 15.600586 -63.609659
    Unten rechts KachelX + 1 35609 KachelY + 1 47897 0.27237746 -1.11019798 15.606079 -63.609659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11015536--1.11019798) × R
    4.26199999998822e-05 × 6371000     		dl = 271.532019999249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11015536--1.11019798) × R
    4.26199999998822e-05 × 6371000     		dr = 271.532019999249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27228159-0.27237746) × cos(-1.11015536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.444522355628122 × 6371000     		do = 271.508818309242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27228159-0.27237746) × cos(-1.11019798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44448417760258 × 6371000     		du = 271.485499638158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11015536)-sin(-1.11019798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444522355628122-0.44448417760258)×R²
    abs(0.27237746-0.27228159)×3.81780255417907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81780255417907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81780255417907e-05×40589641000000     		ar = 73720.1720116255m²