Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35608 / 104186
↖ ↑ ↗
← S 72.176760°
W 82.199707°		 ← 93.49 m → S 72.176760°
W 82.196960°		 →
↑
93.46 m
↓
↑
93.46 m
↓
S 72.177601°
W 82.199707°		 ← 93.48 m →
8 737 m²		 S 72.177601°
W 82.196960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271671295166016 y=0.794879913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271671295166016 × 217)
    floor (0.271671295166016 × 131072)
    floor (35608.5)     		tx = 35608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794879913330078 × 217)
    floor (0.794879913330078 × 131072)
    floor (104186.5)     		ty = 104186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35608 / 104186 ti = "17/35608/104186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35608/104186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35608 ÷ 217
    35608 ÷ 131072     		x = 0.27166748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104186 ÷ 217
    104186 ÷ 131072     		y = 0.794876098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.4566650390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.43465553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794876098632812 × 2 - 1) × π
    -0.589752197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.85276117031517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43465553} λ = -1.43465553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85276117031517))-π/2
    2×atan(0.15680360655918)-π/2
    2×0.155537109128222-π/2
    0.311074218256444-1.57079632675     		φ = -1.25972211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43465553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.199707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25972211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.176760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35608 KachelY 104186 -1.43465553 -1.25972211 -82.199707 -72.176760
    Oben rechts KachelX + 1 35609 KachelY 104186 -1.43460759 -1.25972211 -82.196960 -72.176760
    Unten links KachelX 35608 KachelY + 1 104187 -1.43465553 -1.25973678 -82.199707 -72.177601
    Unten rechts KachelX + 1 35609 KachelY + 1 104187 -1.43460759 -1.25973678 -82.196960 -72.177601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25972211--1.25973678) × R
    1.46699999998834e-05 × 6371000     		dl = 93.4625699992571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25972211--1.25973678) × R
    1.46699999998834e-05 × 6371000     		dr = 93.4625699992571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43465553--1.43460759) × cos(-1.25972211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306081472951882 × 6371000     		do = 93.4851603765572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43465553--1.43460759) × cos(-1.25973678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306067507000882 × 6371000     		du = 93.4808948156383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25972211)-sin(-1.25973678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306081472951882-0.306067507000882)×R²
    abs(-1.43460759--1.43465553)×1.39659509996171e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39659509996171e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39659509996171e-05×40589641000000     		ar = 8737.16401046599m²