Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35605 / 47909
↖ ↑ ↗
← S 63.638943°
E 15.584107°		 ← 271.21 m → S 63.638943°
E 15.589599°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
S 63.641382°
E 15.584107°		 ← 271.18 m →
73 552 m²		 S 63.641382°
E 15.589599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543296813964844 y=0.731040954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543296813964844 × 216)
    floor (0.543296813964844 × 65536)
    floor (35605.5)     		tx = 35605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731040954589844 × 216)
    floor (0.731040954589844 × 65536)
    floor (47909.5)     		ty = 47909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35605 / 47909 ti = "16/35605/47909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35605/47909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35605 ÷ 216
    35605 ÷ 65536     		x = 0.543289184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47909 ÷ 216
    47909 ÷ 65536     		y = 0.731033325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543289184570312 × 2 - 1) × π
    0.086578369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27199397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731033325195312 × 2 - 1) × π
    -0.462066650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45162519429454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27199397} λ = 0.27199397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45162519429454))-π/2
    2×atan(0.234189375412318)-π/2
    2×0.230043621143913-π/2
    0.460087242287826-1.57079632675     		φ = -1.11070908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27199397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.584107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11070908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.638943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35605 KachelY 47909 0.27199397 -1.11070908 15.584107 -63.638943
    Oben rechts KachelX + 1 35606 KachelY 47909 0.27208984 -1.11070908 15.589599 -63.638943
    Unten links KachelX 35605 KachelY + 1 47910 0.27199397 -1.11075165 15.584107 -63.641382
    Unten rechts KachelX + 1 35606 KachelY + 1 47910 0.27208984 -1.11075165 15.589599 -63.641382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11070908--1.11075165) × R
    4.25700000001861e-05 × 6371000     		dl = 271.213470001185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11070908--1.11075165) × R
    4.25700000001861e-05 × 6371000     		dr = 271.213470001185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27199397-0.27208984) × cos(-1.11070908) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.444026282984222 × 6371000     		do = 271.205823205473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27199397-0.27208984) × cos(-1.11075165) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.443988139276091 × 6371000     		du = 271.182525495044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11070908)-sin(-1.11075165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444026282984222-0.443988139276091)×R²
    abs(0.27208984-0.27199397)×3.81437081305447e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.81437081305447e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.81437081305447e-05×40589641000000     		ar = 73551.5130809365m²